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capitolo xi — § 70

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in tale punto nè crescenti nè decrescenti; e ciò, perchè in ogni intorno di $a$ esse assumono tanto valori maggiori, che valori minori di $f(a)$. Tale è, p. es., la funzione $f(x)$ che è nulla per $x=a$ ed è uguale ad $(x-a)\mathrm {sen} {\frac {1}{x-a}}$ per $x\not =a$.

Tali funzioni non hanno quasi importanza nelle scienze applicate.

Da queste definizioni segue che una funzione $f(x)$ può in un dato intervallo avere parecchi massimi o minimi (relativi). Così, p. es., la funzione rappresentata dalla curva della nostra figura 23 ha punto di massimo relativo in $A,B,C,D,E$ e punti di minimo relativo in $A',B',C',D'\,.....$ Essa è crescenta, p. es., in $H$ è decrescente, p. es., in $k$.

Fig. 23.

È utile anche osservare che può succedere che il valore di una funzione in un punto, cui corrisponde un massimo relativo, sia uguale od anche minore del valore, che la funzione ha in un altro punto, in cui la funzione possiede un minimo relativo. Così, p. es., nel caso della figura, il valore della funzione nel punto $E$, che è un punto di massimo, è minore del valore della funzione nel punto $A'$ che è un punto di minimo. Ne ciò deve stupire, perchè l'essere un punto $A(x=a)$ è un punto di massimo o di minimo relativo per $f(x)$ dipende soltanto dai valori che $f(x)$ ha in un intorno

$(a-h\mathrm {,} a+k)$

del punto $a$, e non dei valori che $f(x)$ ha nei punti lontanti dal punto $A$¹.

Molte volte si presenta il problema di cercare in quali punti $A$ una data funzione $f(x)$ riceve il suo più grande, o il suo più piccolo valore. E che tali punti $A$ esistano viene spesso

1. Così una catena di monti può avere parecchie cime (massimi) e parecchi colli (minimi); e possono esistere delle cime più basse di qualche colle.