prima cifra decimale; sia la massima terza cifra decimale di quei numeri di , che hanno per parte intera ed , rispettivamente come prima e seconda cifra decimale. E così via. Noi chiameremo limite superiore dei numeri di il numero , che si ottiene scrivendo dopo le successive cifre decimali , , , ..... Evidentemente il numero cercato coincide, se esiste, con questo numero .
B1) Può avvenire che la classe
contenga tra i suoi numeri il numero
.
Ciò avviene evidentemente, per esempio,
se la classe G
contiene un numero finito di numeri n. In tal caso
è proprio il
massimo numero di
, che noi cercavamo.
B2) Può invece avvenire che il numero
non appartenga alla classe
. Ciò avviene, per esempio, se
è la classe dei numeri
minori di 2; in tal caso
, che
non appartiene a
. In tal caso di nuovo la classe
non possiede un numero massimo (questo, se esistesse, coinciderebbe con
, che viceversa non è un numero di
, mentre invece
dovrebbe essere un numero di
).
Una classe di numeri possiede in ogni caso un limite superiore . Se questo appartiene alla classe , esso è anche il massimo numero di . Se esso non appartiene a , la classe non contiene un numero massimo. Se non è , allora è il minimo numero, che non sia superato da alcun numero di ; se </math>k</math> è un intero qualsiasi, esiste in almeno un numero che coincide col limite superiore fino alla cifra decimale inclusa 1
Perciò sono possibili tre soli casi:
1°)
Non vi è alcun numero maggiore di tutti i numeri di (ossia
);
Un numero decimale illimitato è il limite superiore dei numeri decimali limitati, che se ne deducono trascurando le cifre decimali da un certo punto in poi. Così, per esempio, 0,3333..... è il limite superiore dei numeri 0,3; 0,33; 0,333; eccetera.
Se ogni numero della classe soddisfa alla , oppure alla , oppure alla , oppure alla (dove è un numero prefissato), allora il limite superiore soddisferà rispet-
- ↑ Si dimostra che il limite superiore non varia, se si cambia il numero assunto come base del sistema di numerazione, servendosi delle proprietà qui enunciate per .