Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/26

10

capitolo i — § 3

tivamente nei primi due casi alla $L\leq k$, nel terzo alla $L>k$, nel quarto alla $L\geq k$. Notiamo in particolare che alla disuguaglianza $m<k$ per i numeri $m$ di $G$ corrisponde per il limite superiore $L$ la disuguaglianza attenuata $L\leq k$.

$\beta$) Se nelle precedenti considerazioni, anzichè scegliere la massima parte intera, e successivamente le massime cifre decimali, avessimo scelto la minima parte intera, e successivamente le minime cifre decimali, avremmo definito il limite inferiore $l$ di $G$.

Nessun numero di G è minore del limite inferiore l, il quale è il più grande dei numeri che non superano alcun numero di G. Se tra i numeri di G ve ne è uno minimo, e soltanto in tale caso, il numero l appartiene a G , e coincide allora con tale numero minimo. Se k è un intero arbitrario, vi è in G almeno un numero uguale ad l almeno fino alla ${\text{k}}^{\text{esima}}$ cifra decimale. Se i numeri m di G soddisfano alla m > h, allora l ≥ h; eccetera eccetera.

Nei casi 2° e 3° del precedente teorema L (che è finito) è anche il limite inferiore della classe G´ formata dai numeri positivi maggiori di ogni numero di G. Il numero L o è il massimo dei numeri di G, perchè appartiene a G, oppure è il minimo dei numeri di G, perchè appartiene a G´.

$\gamma$) La somma di due o più numeri positivi n, m, ... è il limite superiore della classe dei numeri (razionali) ottenuta sommando i numeri decimali limitati dedotti da n, m, ... tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali.

Questa definizione è la più naturale estensione del teorema: La somma di due o più numeri decimali limitati n, m, ... è maggiore del numero ottenuto sommando quei numeri che si deducono da n, m, ..., trascurando le cifre decimali a partire da un certo posto in poi.

È ben noto che da questa definizione si deduce: Se il segmento N è somma di più segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, ..., la misura di N è eguale alla domma delle misure dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, ...

Sono ben note le seguenti proprietà dell'addizione:

$n+m=m+n$	(proprietà commutativa)
$n+(m+p)=n+m+p$	(proprietà associativa).

In modo perfettamente analogo si definisce il prodotto¹

---

1. Ricordo che, se $m$, $n$ sono le misure della base ed altezza di un rettangolo, il prodotto $m\;n$ è la misura dell'area del rettangolo, quando come unità di misura delle aree si scelga il quadrato, il cui lato è l'unità $M$ di misura delle lunghezze.