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numeri reali

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di due o più numeri positivi; e si dimostrano poi le seguenti proprietà fondamentali della moltiplicazione:

$n\;m=m\;n$	(proprietà commutativa)
$n\;m\;p=n(m\;p)$	(proprietà associativa)
$n(m+p)=n(m+p)$	(proprietà distributiva)

La differenza [quoziente] di due numeri $n$, $m$ si definisce poi come quel numero $n-m$ [quel numero $\textstyle {\frac {n}{m}}$] che sommato con $m$ [moltiplicato per $m$] riproduce il numero $n$.

Esistono regole di calcolo numerico per eseguire nel modo più rapido, ed evitando calcoli inutili, le operazioni elementari dell'aritmetica sui numeri decimali limitati od illimitati, quando sia prefissata l'approssimazione, che si esige dal risultato finale.

Queste regole possono essere assai utili per chi abbia da eseguire calcoli numerici. E il loro studio, di cui qui non ci possiamo occupare, perchè estraneo all'argomento di questo corso, è perciò assai raccomandabile per ogni calcolatore.

Restando nell'ambito dei numeri positivi o nulli, si può parlare della differenza $n-m$, soltanto se $n\geq m$.

Non si può parlare del quoziente $\textstyle {\frac {n}{m}}$ se $m=0$.

Con $x^{\text{n}}$, se $x$ è un numero positivo, ed $n>1$ è un intero positivo, si indica il prodotto di $n$ fattori uguali ad $x$. E si pone poi $x^{1}=x$; e, se $x\neq 0$, $x^{0}=1$. Il simbolo $0^{0}$ si considera privo di significato.

Se $n>1$ è un intero positivo, con ${\sqrt[{n}]{x}}$ si indica il numero $y$ tale che $y^{n}=x$¹. Se $x$ aumenta, aumenta tanto la ${\sqrt[{n}]{x}}$ quanto la $x^{n}$. Se $m$, $n$ sono interi positivi ed $n>1$, con $x^{\frac {m}{n}}$ si intende la ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}$. Se poi $p$ è un numero positivo qualsiasi, con $x^{p}$ si intende il limite superiore delle potenze $x^{q}$, quando $q$ sia uno dei numeri ottenuti da $p$, tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali (dell'esponente $p$).

È noto che, se $p$, $q$ sono numeri positivi o nulli arbitrari, allora:

$x^{p}\;x^{q}=x^{p+q}$.

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1. Si può dimostrare l'esistenza di $y$, definendo $y$ come il limite superiore della classe formata da quei numeri $z$, che soddisfano alla $z^{n}\leq x$.