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12 capitolo i — § 4


§ 4. — Numeri reali.

Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti.

α) Una retta r si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta AB si ritiene percorso nel verso dal punto A al punto B, e si ritengono distinti i segmenti (orientati) AB, BA i cui versi sono opposti.

Misura algebrica di un segmento AB di r è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da A a B) coincide col verso positivo o col verso negativo di r. E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale a = — (— a), avremo AB = — BA, AB + BA = 0. Cioè:

La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.

I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se a è un numero reale, con |a| ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con |a| lo stesso numero a, se a è positivo e il numero a cambiato di segno, se a è negativo.

β) Due segmenti orientati si diranno uguali, se hanno lo stesso verso e sono uguali dal punto di vista della geometria elementare: ossia se hanno misure uguali e dello stesso segno.

Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.

Siano dati i segmenti c, d; preso un punto qualsiasi A di r, si consideri il segmento AB uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a c, e quindi il segmento BC uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a d. Il segmento AC (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti c, d. Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, c, d sono entrambi positivi.