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capitolo xii — § 74

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Se $F(x)\geq \,0$, consideriamo il rettangoloide, di cui ci siamo già serviti per dimostrare il primo teorema del presente paragrafo. le sue aree esterna ed interna, avendo entrambe la stessa derivata $F(x)$, differiscono per una costante. Ma questa costante è nulla, perchè tutte e due queste are sono nulle per $x=a$. Cosicchè la loro differenza è nulla per $x=a$; ed, essendo costante, è nulla per ogni valore della $x$. Quelle due aree sono perciò uguali.

Se dunque $y=F(x)\geq \,0$ è una funzione continua, il rettangoloide racchiuso tra l'asse delle $x$, la curva e le due ordinate ha uguali l'area esterna ed interna, cioè possiede un'area nel senso più elementare della parola: area (cfr. § 7).

ε) Una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata si indica con $\int Fdx$, e si chiama integrale indefinito della $F(x)$.

Questo nome è dovuto a ciò che un tale integrale non è completamente definito, ma è definito soltanto a meno di una costante additiva. Così, poichè $\mathrm {cos} x$ è la derivata di $\mathrm {sen} x$, noi scriveremo.

$\int \mathrm {cos} xdx=\mathrm {sen} x+C$ ($C=$ costante arbitraria). La differenza $f(b)-f(a)$ si dice integrale definito di $F(x)$ nell'intervallo ($a$, $b$, perchè non varia qualunque costante si aggiunga ad $f(x)$, e si indica con $\int _{a}^{b}F(x)dx$. I numeri $a$ e $b$ si dicono rispettivamente i limiti di integrazione (il limite 'inferiore, ed il superiore).

Un tale integrale è completamente definito dalla funzione $F$, e dai limiti $a$, $b$. il suo valore non dipende perciò dal suo nome dato dalla variabile di integrazione. Così, p. es.

$\int _{a}^{b}\mathrm {cos} xdx=\int _{a}^{b}\mathrm {cos} zdz=\mathrm {sen} b-\mathrm {sen} a$

La differenza $f(b)-f(a)$ si indica anche con $[f(x)]_{a}^{b}$ Cosicchè, se

$\int F(x)dx=f(x)$,

sarà $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=f(b)-f(a)=[f(x)]_{a}^{b}$

È poi evidente che: (1)               $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=-\int _{b}^{a}\,F(x)dx$ (2)     $\int _{a}^{b}\,F(x)dx+\int _{b}^{c}\,F(x)dx=\int _{a}^{c}\,F(x)dx$; $\int _{a}^{a}\,F(x)dx=0$.