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integrali

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dove evidentemente le $c_{i}$ sono polinomii omogenei di primo grado nelle $9$ costanti da determinarsi $A_{1}$ , $A_{2}$ , $M$ , $N$ , $b_{0}$ , $b_{1}$ ... $b_{4}$ . Se

${\frac {}{k}}R(x)=r-0+r_{1}x+...+r_{8}x^{8}$ ,

la nostra uguaglianza diventa

${\begin{Bmatrix}c_{0}=r_{0}\\c_{1}=r_{1}\\.\,.\,.\,.\,.\,.\,\\c_{8}=r_{8}\end{Bmatrix}}$ (3)

Le (3) sono effettivamente un sistema di nove equazioni lineari nelle nove incognite $a_{1}$ , $A_{2}$ , ....., $b_{4}$ ; le quali ora proveremo, si possono risolvere con la regola di Cramer.

Infatti, se la regola di Cramer non fosse applicabile alle (3), il determinante dei coefficienti delle nove incognite in tali equazioni sarebbe nullo. E in tal caso per il teorema del § 27 alle equazioni omogenee che si deducono dalle precedenti (3) sostituendo lo zero al posto delle $r$ , si potrebbe soddisfare con valori non tutti nulli delle incognite. Se le $r$ sono nulle, anche $R(x)$ sarebbe nullo. Quindi, poichè le (3) sono equivalenti alle (2) e (2)_bis, si potrebbe soddisfare identicamente alla (2) supponendo $R(x)$ identicamente nullo, e le $A_{1}$ , $A_{2}$ , ....., $b_{4}$ , nno tutte nulle. Dimostreremo che ciò è assurdo.

Infatti, se così fosse, da (2) si dedurrebbe in tali ipotesi:

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {b_{0}+.....+b_{4}x^{4}}{(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{2}}}\right]=-{\frac {A_{1}}{x+a_{1}}}-{\frac {A_{2}}{x+a_{2}}}-{\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$ .

Se passiamo al limite per $x=-a_{1}$ , il primo membro tende a un limite finito; altrettanto dovrà accadere al secondo membro. E quindi è $A_{1}=0$ .

Il secondo membro diventa per $x=+a_{2}$ infinito del primo (e non del secondo) ordine¹; altrettanto dovrà avvenire del primo membro. E quindi $b_{0}+.....+b_{4}x^{4}$ è divisibile per $x+a_{2}$ . Ma in tal caso il primo membro è finito per $x=-a_{2}$ . Altrettanto deve avvenire al secondo membro. E quindi $A_{2}=0$ .

Il secondo membro è infinito del primo (e non del terzo) ordine nei punti (complessi) che annullano $x^{2}+px+q$ . Come sopra se ne dedurrà che $b_{0}+.....+b_{4}x^{4}$ è divisibile per $(x^{2}+px+q)^{2})$ e quindi che $M=N=0$ .

D'altra parte il polinomio $b_{0}+b_{1}x+.....+b_{4}x^{4}$ di quarto grado può essere divisibile per $(x+a_{2})$ e per $(x^{2}+px+q)^{2})$ , soltanto se è divisibile per il loro prodotto, che è un polinomio di quinto grado; cioè soltanto se tutte le <math<b</math> sono nulle. È dunque impossibile che $R(x)=0$ , se qualcuna delle nostre incognite $A_{1}$ , $M_{2}$ , ..... $b_{4}$ è differente da zero.