Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/270

254

capitolo xii — § 76

---

$\beta$) ogni frazione semplice del tipo

${\frac {A}{x+a}}$;

$\beta '$) ogni frazione semplice del tipo

               ${\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$               $\left({\frac {p^{2}}{4}}-q<0\right)$;

$\gamma$) ogni espressione     ${\frac {d}{dx}}{\frac {Vx}{W(x)}}$.

Ora gli integrali di $(\alpha )$, $(\beta )$, $(\gamma )$ sono rispettivamente

$k_{0}x+k_{1}{\frac {x^{2}}{2}}+k_{2}{\frac {x^{3}}{3}}+.....+k_{s}{\frac {x^{s+1}}{s-1}}+{\text{cost}}$.

$A\log |x+a|+{\text{cost}}$.

${\frac {V(x)}{W(x)}}+{\text{cost}}$.

Basterà saper calcolare l'integrale di $\beta '$), cioè:

$\int \,{\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx$               ${\frac {p^{2}}{4}}-q<0 \choose {\text{cioe}}\,k={\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}{\text{reale}}}}$.

Ora:

$Mx+N={\frac {M}{2}}(2x+p)+(\left(N-p{\frac {M}{2}}\right)$.

Cosicchè: $\int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {M}{2}}\int {\frac {2x+p}{x^{+}px+q}}dx+\left(N-p{\frac {M}{2}}\right)\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}$ Ora:

$\int {\frac {2x+p}{x^{2}+px+q}}dx=\log(x^{2}+px+q)$.

E, poichè

$x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+k^{2}$,

sarà:

$\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}=\int {\frac {d\left(x+{\frac {p}{2}}\right)}{\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{-2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\,{\text{artg}}\,{\frac {x+{\frac {p}{2}}}{k}}$.