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capitolo xii — § 77

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l'integrale $\int f({\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x)dx$ di una tale funzione, si ponga $x={\text{tg}}{\frac {x}{2}}$, cosicchè

$dx=2{\frac {dz}{1+z^{2}}}$,

                    ${\text{sen}}\,x={\frac {2z}{1+z^{2}}}$;          ${\text{cos}}\,x={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$.

Il nostro integrale diventerà:

$2\,\int \,f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.

e si ridurrà così all'integrale, che sappiamo eseguire, della funzione razionale

$f\left({\frac {2z}{1+z^{2}}},{\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right){\frac {dz}{1+z^{2}}}$.

Oss. Se la $f$ è una funzione razionale delle sole ${\text{sen}}^{2}\,x{\text{, cos}}^{2}\,x{\text{, tg}}\,x$, il calcolo diventa più rapido ponendo $z={\text{tg}}\,x$, e quindi $dx={\frac {dz}{1+z^{2}}}$, ${\text{sen}}^{2}x={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}}$, ${\text{cos}}^{2}x={\frac {1}{1+z^{2}}}$.

$\gamma$) Si voglia calcolare:

(1)          $\int f\left(x{\text{,}}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)dx$          ($a$, $b$, $c=$ cost.)

dove $f$ è una funzione razionale di $x$ e ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$, e quindi irrazionale nella $x$. Distingueremo varii casi:

$\gamma ^{1}$) Supposto $a>0$, porremo $a=k^{2}$, $k={\sqrt {a}}$, e

(2)                         ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)$,

dove $z$ è una nuova variabile. Quadrando e risolvendo rispetto alla $x$, si trova:

(3)                         $x={\frac {az^{2}-c}{b-2az}}$;     $(a=k^{2})$

e quindi:

(3)₁                         $dx={\frac {-2a^{2}z^{2}+sabz-2ac}{(b-2az)^{2}}}dz$,

e, per (2):

(3)₂     ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=k(x+z)={\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}$.

In virtù delle (3) e della regola di integrazione per sostituzione, l'integrale (1) diventa

$-2a\int f\left({\frac {az^{2}-c}{b-2az}}{\text{,}}{\sqrt {a}}{\frac {-az^{2}+bz-c}{b-2az}}\right){\frac {(az^{2}-bz+c)}{(b-2az)^{2}}}dz$;