Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/274

258

capitolo xii — § 77}

---

di una funzione razionale della $z$: integrale che quindi sappiamo calcolare.

Oss. Il caso di una funzione $f$ razionale nella $x$, ${\sqrt[{p}]{bx+c}}$, ${\sqrt[{q}]{bx+c}}$, $[r]{bx+c}$, .....($p$, $q$, $r$, ..... interi positivi) si riduce subito al precedente, assumendo per $m$ il minimo comune multiplo di $p$, $q$, $r$, .....

$\epsilon$) Calcoliamo l'integrale $\int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}})dx(a,b,c,d={\text{cost.}})\,(a\not =0)$ di una funzione razionale $f$ di $x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}$. Posto $z={\sqrt {ax+b}}$ e quindi $x={\frac {z^{2}-b}{a}}$, $dx={\frac {2}{a}}zdz$, questo integrale diventa ${\frac {2}{a}}\int \left({\frac {z^{2}-b}{a}},z,{\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+{\frac {(da-cb)}{a}}}}\right)zdz$, che è l'integrale di una funzione razionale di $z$ e di ${\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+\left(d-{\frac {cb}{a}}\right)}}$, cioè un integrale del tipo che noi abbiamo già imparato a calcolare in $\gamma$).

$\zeta$) Integrali binomii, — Si voglia calcolare l'integrale $\int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}dx$ ove $a$, $b$ sono costanti ed $m$, $n$, $p$ numeri razionali.

$A$) Se $p$ è intero, si ponga $x=z^{s}$, indicando con $s$ il minimo comune multiplo dei denominatori di $m$, $n$, che per ipotesi sono numeri tratti (cfr, $\delta$), e ci si riduce al solito caso dell'integrale di una funzione razionale.

{{smaller|$B$) Se $p$ è una funzione ${\frac {r}{s}}$ (con $r$, $s$ interi), posto

$t=(ax^{n}+b)^{\frac {1}{s}},x=\left({\frac {t^{s}-b}{a}}\right)^{\frac {1}{n}},dx={\frac {s}{na}}\left({\frac {t^{s}-b}{a}}\right)^{{\frac {1}{n}}-1}t^{s-1}dt$,

il nostro integrale diventa:

${\frac {s}{na^{\frac {1+m}{n}}}}\int t^{r+s+1}(t^{r}-b)^{{\frac {m+1}{n}}-1}dt$,

che è l'integrale di una funzione razionale, e noi sappiamo calcolare, se ${\frac {m+1}{n}}$ è intero.

Possiamo trovare un altro caso, in cui possiamo calcolare il nostro integrale. Basti osservare che, posto $x={\frac {1}{y}}$, esso diventa

$-\int y^{\mu }(a+by^{n})^{p}dy$ con $\mu =-(m+2+np)$

che, per quanto dicemmo in $B$ sappiamo calcolare se ${\frac {\mu +1}{n}}$ è intero cioè se ${\frac {-m-1-np}{n}}$ è intero, cioè se ${\frac {m+1}{n}}+p$ è intero.

In conclusione sappiamo calcolare il precedente integrale, riducendolo al calcolo di una funzione razionale, quando è intero uno dei tre numeri $\mathrm {p}$, oppure $\mathrm {\frac {m+1}{n}}$, oppure $\mathrm {{\frac {m+1}{n}}+p}$.

Oltre al quadro del § 74, $\zeta$, pag. 244, noi ne daremo qui un altro che riassume i più importanti risultati ottenuti fin qui.