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capitolo xii — § 79

§ 79. — Integrazione per serie.

$\alpha$) Nel paragrafo precedente abbiamo dato, partendo da alcune formole di calcolo differenziale, metodi che in qualche caso particolare servono a calcolare gli integrali di una funzione continua. Ma poichè ogni funzione continua possiede integrali, sorge spontanea la domanda: Come si calcolano, almeno approssimativamente, gli integrali di una funzione continua, al calcolo di quali non bastino i metodi esposti nei precedenti paragrafi? L'importanza di questa domanda si rileva tosto, apena si ricordi che anche l'integrazione di una funzione razionale richiede la risoluzione di un'equazione algebrica; che noi sappiamo costruire un calcolo spesso ben lungo; anche se si vuole soltanto una piccola approssimazione. Di più si noti che quando, p. es., diciamo che $\int {\frac {1}{x}}dx=\log |x|+C$ e asseriamo perchoò che sappiamo integrare ${\frac {1}{x}}$, ciò è dovuto soltanto al fatto che nelle tavole logaritmiche hanno per l'integrale <math<\frac{1}{x} dx</math>.

Varii sono i metodi a tal fine, e di essi noi parleremo anche in altri capitoli. Per ora parleremo soltanto del metodo che ricorre agli sviluppi in serie . Il teorema su cui si basa tale procedimento è il seguente:

$\beta$) Se nell'intervallo finito (a, b) la serie di funzioni continue

$f(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+.....=\Sigma \,u_{n}\,\,\,\,\,(1)$

è totalmente convergente, allora (per $\mathrm {a\leq \,x\leq \,b}$) lo $\mathrm {\int ^{x}f(x)dx}$ esiste ed è uguale proprio alla sere degli integrali

$F(x)=\int _{a}^{x}u_{1}(x)dx+\int _{a}^{x}u_{2}(x)dx+\int _{a}^{x}u_{3}(x)dx+.....\,\,$ (2)