Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/288

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

272

capitolo xiii — § 80-81

Notiamo un semplice corollario, che è una generalizzazione del teorema della media. Il rapporto

$R_{f}={\frac {1}{h}}\left\{{\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)}{k}}-{\frac {f(x,y+k)-f(x,y)}{k}}\right\}=$

$={\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y)}{hk}}$

ha per $\mathrm {h=k=0}$ per limite la derivata mista nel punto $\mathrm {(x,y)}$ ; esso stesso, prima di passare al limite, vale la derivata mista in un punto (diciamo così) intermedio $\mathrm {x+\theta h,y+\theta 'k}$ . [Precisamente come ${\frac {\psi (x+h)-\psi (x)}{h}}$ ha per $h=0$ il limite $\varphi '(x)$ e prima di passare al limite vale $\varphi '(x+\theta h)$ , se $\varphi '(x)$ è nell'intervallo $(x,x+h)$ determinato e finito]. nel caso attuale si suppone che la derivata mista sia anche continua.

§ 81. — Teorema della media per funzioni di due o più variabili.

Se $\varphi (x)$ è una funzione derivabile della $x$ nell'intervallo <math<(a, a+h) il teorema della media si enuncia con la formola:

$\varphi (a+h)-\varphi (a)=h\varphi '(a+\theta h)$ , dove $0<\theta <1$ .

Troveremo una formola analoga per le funzioni di più variabili.

Sia $f(x,y)$ una funzione di due variabili $x$ e $y$ definita in un campo $R$ e derivabile in tutto $R$ sia rispetto alla $x$ che rispetto alla $y$ . Fig. 32.

Sia $A$ un punto di $R$ di coordinate $x$ e $y$ : e $B$ (fig. 32) un altro punto del campo di coordinate $x+h,y+k$ . Per passare dal punto $A$ al punto $B$ si può, p. es., seguire una spezzata, di cui un segmento è parallelo all'asse delle $x$ e l'altro segmento è parallelo all'asse delle $y$ . Se questi due segmenti sono interni al campo $R$ , e $C$ è il loro punto comune, il punto $C$ avrà per ascissa l'ascissa di $B$ e per ordinata la ordinata di $A$ ¹. Allora la differenza $f(x+h,y+k)-f(x,y)$ si può porre,

↑ Supponiamo dunque i segmenti $AC,CB$ interni al campo che esaminiamo; nel precedente § 80 non si è fatta analoga ipotesi, perchè superflua, in quanto che $h,k$ si supponevano tendere a zero, ed il punto $8x,y)$ si supponeva interno al campo $R$ .

[1] Supponiamo dunque i segmenti $AC,CB$ interni al campo che esaminiamo; nel precedente § 80 non si è fatta analoga ipotesi, perchè superflua, in quanto che $h,k$ si supponevano tendere a zero, ed il punto $8x,y)$ si supponeva interno al campo $R$ .

1