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capitolo xiii — § 85-86

Ad identico risultato si giunge se $F'_{x}\not =0$. Se dunque in $\Gamma$ non è mai contemporaneamente $F'_{x}=0,F'_{y}=0$, allora per trovare i cercati punti $A$ si cercano i punti ove sono nulle le derivate prime di $f+\lambda F$ rispetto a $x,y$: si procede cioè come se si cercassero i massimi e i minimidi $f+\lambda F$. le tre equazioni

$(f+\lambda F)'_{x}=0$

$(f+\lambda F)'_{y}=0$

$F(x.y)=k$.

sono tre equazioni nelle tre incognite (la costante $\lambda$ e le due coordinate $A$, che servono a determinarci quei punti $A$ di $C$, tra i quali soltanto si dovranno poi cercare i nostri punti di massimo o di minimo.

Questo metodo del moltiplicatore indeterminato $\lambda$ è suscettibile di molte e svariate generalizzazioni e applicazioni.

§ 86. — Formola di Taylor-Lagrange
per le funzioni di due variabili.

Ricordiamo le formole di Taylor-Lagrange per le funzioni di una sola variabile

$\varphi (\alpha +h)=\varphi (\alpha )+h\varphi (\alpha +\theta h)=\varphi (\alpha )+h\varphi '(\alpha )+$

$+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}\varphi ''(\alpha +\theta h)$,

dove $0<\theta <1$, e $\theta$ può variare dal secondo al terzo membro. Vogliamo estendere queste formole al caso di na funzione $f(x,y)$ di due variabili. Consideriamo a tale oggetto la $f(a+ht,b+kt)$; la quale, se $a$ e $b$, $h$ e $k$ si considerano come costanti, è una funzione $\varphi (t)$ della sola $t$. Potremo quindi scrivere

                                   $\varphi (t)=f(a+ht,b+kt)$.                    (1)

Posto successivamente $t=0$ e $t=1$, si trae

          $\varphi (0)=f(a,b)$          $\varphi (1)=f(a+h,b+k)$.          (1)^bis

Applicheremo alla $\varphi (t)$ la precedente formola di Taylor, la quale, posto¹ $\alpha =0,h=1$, diventa:

$\varphi (1)=\varphi (0)+\varphi '(\theta )=\varphi (0)+\varphi '(0)+{\frac {1}{2}}\varphi ''(\theta )$. (2)

1. È necessario supporre, a tal fine che i punti di coordinate $x=a+ht<math>e$y=b+kt</math> siano, per $0\leq \,t\leq \,1$, tutti interni al campo ove sono definite la $f$ e le sue derivate. Tali punti non sono che i punti del segmento rettilineo congiungente il punto $(a,b)$ al punto $(a+h,b+k)$.