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CAPITOLO XIV.

PRIMA ESTENSIONE DEL CALCOLO INTEGRALE
ALLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

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§ 88. — Considerazioni preliminari.

Sia $f(x,y)$ una funzione continua nei punti di un campo, che, per fissar le idee, supponiamo essere un rettangolo $R$ coi lati paralleli agli assi coordinati. Tale rettangolo $R$ contenga all'interno il segmento (parallelo all'asse delle $y$ che è definito dalle formole:

          $y=k={\text{cost.}}$          $\alpha \leq \,x\leq \,\beta$.          $(\alpha ,\beta ={\text{cost.}})$

I valori che $f(x,y)$ assume nei punti di tale segmento (lungo cui $y=$ cost.) dipendono dalla sola $x$; e costituiscono appunto una funzione della sola $x$. Io dico che l'integrale

                                                  $\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx$                              (1)

di tale funzione è una funzione continua della $\mathrm {y}$ (per quei valori di $y=k$ corrispondenti a punti interni ad $R$).

Il lettore noti l'analogia tra la definizione degli integrali (1) di $f(x,y)$ e quella delle derivate parziali della $f(x,y)$; come per calcolare $f'_{x}$ si considera la $y$ come una costante, così (1) si calcola appunto, considerando la $y$ come costante, cioè la $f(x,y)$ come funzione della sola $x$¹

Si tratta di provare che $\lim _{h=0}B=0$, ove è posto

          $B=[\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y+h)dx-\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx]$.               (2)

Il lettore troverà più avanti una dimostrazione completa. Qui ci acconteniamo di provare tale formola nell'ipotesi che

1. In altre parole, se $F(x,y)$ è una funzione delle $x,y$ tale che $F''_{x}=f$ sarà

   $\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx=F(\beta ,y)-F(\alpha ,y)$.