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prima estensione del calcolo integrale, ecc.

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ossia che:

$\varphi '(x)=M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,Y)dy$. (5)

Il secondo membro è finito e continuo. Sarà dunque necessario e sufficiente che esso sia funzione della sola $x$: in tal caso, con una integrazione si ricaverà il valore di $\varphi (x)$. La condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità del nostro problema è che la derivata $M'_{y}-N'_{x}$ del secondo membro di (5) rispetto ad $y$ sia nulla; cioè la condizione, già trovata necessaria, è anche sufficiente. In tal caso la (5) dà

$\varphi (x)=\int _{x_{0}}^{x}\left\{M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)dy\right\}dx+\varphi (x_{0})$

dove $\varphi (x_{0})$ è il valore di $\varphi (x)$ per $x=x_{0}$, cioè il valore di $f$ per $x=x_{0}$ ed $y=y_{0}$, cioè il valore $f(x_{0},y_{0})$ prefissaro ad arbitrio. E la (4) dà pertanto:

$f(x,y)=\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\int _{x_{0}}^{x}\left\{M(x,y)-\int _{y_{0}}^{y}N'_{x}(x,y)\right\}dx+f(x_{0},y_{0})$.

Ricordando che nelle attuali ipotesi il secondo addendo, come già abbiamo osservato, è indipendente dalla $y$, possiamo per calcolarlo, supporvi $y=y_{0}$. Cosicchè tale formola diventa più semplicemente

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx+\int _{y_{0}}^{y}N8x,y)dy+f(x_{0},y_{0})$ (6)

la quale dimostra il nostro teorema che nelle nostre ipotesi esiste una funzione $\mathrm {f}$, il cui differenziale è $\mathrm {[} {Mdx+Ndy}$, e ci insegna a calcolare tale funzione $\mathrm {f}$ nel campo $\mathrm {R}$ sopra definito.

La (6) si può ottenere direttamente nel seguente modo, se si ammette già provata la esistenza della $\mathrm {f}$; basta osservare che:

$f(x,y)-f(x_{,}y_{)}=[f(x,y)-f(x,y_{)}]+[f(x,y_{)}-f(x_{,}y_{)}]$

$=\int _{y_{0}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+\int _{x_{0}}^{x}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y=y_{0}}dx=$

$=\int _{y_{0}}^{y}N8x,y)dy+\int _{x_{0}}^{x}M(x,y_{0})dx$,

che coincide appunto con (6).

Indichiamo con $A,C,B$ i punti $(x_{0},y_{0}),(x,y_{0})$ ed $(x,y)$. La somma dei primi due addendi del secondo membro di (6) si chiamerù l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso alla spezzata $ACB$,