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capitolo xiv — § 91

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ed è perciò uguale alla differenza dei valori che la $\mathrm {f(x,y)}$ assume negli estremi $\mathrm {B,A}$ dell'arco $\mathrm {\Gamma }$ di curva considerato.

Vale a dire tale integrale ha in tale ipotesi un valore che dipende soltanto dagli estremi $\mathrm {A,B}$ del nostro arco, e non varia quindi, se cambiano l'arco (1) che congiunge i punti $A,B$, e gli sostituiamo p. es., come al § 90, la spezzata $ACB$. Viceversa si può dimostrare (cfr. anche il penultimo cap. del libro):

Se questo integrale non dipende dalla particolare scelta dell'arco $\mathrm {AB}$, ma soltanto dai suoi estremi $\mathrm {A,B}$, esso definisce proprio il valore che nel punto $\mathrm {B}$ assume la funzione $\mathrm {f(x,y)}$ che è nulla nel punto $\mathrm {A}$, e il cui differenziale vale $\mathrm {Mdx-Ndy}$.

Infatti tenuto fisso il punto $A$, e considerato il punto $B$ come variabile, tale integrale sarà una funzione $f$ delle coordinate $(x,y)$ di $B$. Vogliamo provare che $f'_{x}=M$ e che $f'_{y}=N$. Proviamo p. es. che $f'_{x}=M$. Sia $B'$ il punto $(x+h,y)$. Sarà

$f'_{x}(x,y)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=$

                    $=\lim _{h=0}{\frac {\int _{A}^{B'}(Mdx+Ndy)-\int _{A}^{B}(Mdx+Ndy)}{h}}$.          (3)

Poichè tali integrali non dipendono dalla scelta delle linee $AB,AB'$, potremo supporre che la linea $AB'$ risulti dalla linea $AB$ e dal segmento $BB'$, lungo cui $dy=0$.

La (3) diventerà

$f'_{x}(x,y)=\lim _{h=0}{\frac {\int _{B}^{B'}(Mdx+Ndy)}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}M(x,y)dx$

Ricordando che per il teorema della media

          $\int _{x}^{x+h}M(x,y)dx=hM(x+\theta h,y)$,           ($0<\theta <1$)

e che $M$ è continua, avremo:

          $f'_{x}=\lim _{x=0}M(x+\theta h,y)=M(x,y)$.                    c.d.d.

Cosicchè il problema di riconoscere quando esiste una funzione $f(x,y)$ che abbia un dato differenziale $Mdx+Ndy$, e quello di calcolare tale funzione, si riducono al problema di riconoscere quando l'integrale curvilineo di $Mdx+Ndy$ dipende