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capitolo xvi — § 101

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Il primo addendo $F(A)\tau$ si dirà il differenziale della $S$, e si indicherò con $dS$. Noi porremo perciò per definizione

$dS=F(A)\tau$.

Se $S=\tau$, se cioè $S$ coincide addirittura con la misura di $\tau$, la sua derivata sarà sempre uguale a $1$. Cosicchè il suo differenziale sarà dato dalla:

$d\tau =\tau$.

E la precedente equazione diventa:

$dS=F(A)d\tau$, ossia $F(A)={\frac {dS}{d\tau }}$.

Anche in questo caso la derivata si può considerare come un quoziente di differenziali.

$\gamma$)È appena necessario avvertire che alle derivate delle funzioni additive si possono generalizzare i teoremi relativi alla derivazione di una somma, di una differenza¹. Noi ci limiteremo qui a dare un cenno ala generalizzazione del teorema di derivazione di una funzione di funzione.

Siano $I$ ed $H$ due campi, i cui punti sono in corrispondenza biunivoca; con $\tau$ indichiamo sia i pezzi di $I$, che la loro misura; con $k$ sia i pezzi di $H$ che la loro misura. Sia $S(\tau )$ una funzione additiva dei pezzi $\mathrm {\tau }$ di $I$; poichè ad ogni pezzo $k$ di $H$ corrisponde un pezzo $\tau$ di $I$, ad ogni pezzo di $k$ di $H$ corrisponde un valore di $S(\tau )$. Cioè $\mathrm {S}$ si potrà considerare anche come funzione additiva dei pezzi $\mathrm {k}$ di $\mathrm {H}$.

La misura $\tau$ di quel pezzo $\tau$ di $I$, che corrisponde ad un pezzo $k$ di $H$ è anch'essa una funzione additiva di $k$. Supporremo che esista la sua derivata ${\frac {d\tau }{dk}}$.

Che relazione passa tra le derivate $\mathrm {{\frac {dS}{d\tau }},{\frac {dS}{dk}}}$ della $\mathrm {S}$, pensata come funzione dei $\mathrm {\tau }$ o dei $\mathrm {k}$?

Come per le funzioni di una sola variabile, si dimostra che: ${\frac {dS}{dk}}={\frac {dS}{d\tau }}{\frac {d\tau }{dk}}$, o (come si può scrivere in altro modo) $S'_{k}=\tau '_{k},$ ossia che anche nel caso attuale i calcoli coi differenziali $d\tau ,dS$, ecc. si effettuano con le stesse regole usate pei differenziali di una variabile, e si possono ripetere considerazioni analoghe a quelle del § 59, pag. 187.

1. È appena da avvertire che prodotto o quoziente di due funzioni additive può non essere una funzione additiva.