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funzioni additive generali e integrali multipli

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rema, che avevamo già dimostrato in casi particolati, usando però del linguaggio del calcolo differenziale (o calcolo delle derivate) (pag. 167):

Teor. 1°. Il volume del nostro cilindroide si ottiene integrando rapporto alla $\mathrm {y}$ l'area della sezione fattavi con un piano $\mathrm {y=cost.}$.

E questo teorema si può estendere a solidi qualunque (decomponibili in cilindroidi).

Teor.. 2° Scelta una retta come asse delle $\mathrm {y}$, il volume di un tale solido è uguale all'integrale rispetto alla $\mathrm {y}$ dell'area della sezione fatta con un piano $\mathrm {y=cost.}$.

Il precedente teor. 1° si può considerare come l'enunciato geometrico del teorema contenuto nella (1) del § 103, anche quando $F(x,y)$ non sia sempre positivo, purchè si considerino come negativi i volumi delle porzioni di un solido poste al disotto del piano $xy$ e le aree delle corrispondenti sezioni con un piano $y={\text{cost.}}$.

§ 105. — Dimostrazione rigorosa dei risultati precedenti.

Per dimostrare¹, p. es., che

$\int _{\sigma }Fd\sigma =\int _{\sigma }dx\int F(x,y)dy$,

basta provare che il secondo membro è una funzione additiva di $\sigma$ la cui derivata vale $F</matHh>.Notiamochel'integrale<math>\int F(x,y)dx$ del secondo membro è esteso all'intervallo $\lambda$, o alla somma $\lambda$ degli intervalli che su una retta $r$ (luogo dei putni aventi l'ascissa $x={\text{cost.}}$ sono determinati da $\sigma$. E, se $\sigma$ è somma di due campi parziali $\sigma _{1},\sigma _{2}$, e indichiamo con $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ gli intervalli determinati sulla $r$ da $\sigma _{1}$ e da $\sigma _{3}$, sarà $\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ e quindi:

(1)   $\int _{(\lambda )}F(x,y)dy=\int _{(\lambda _{1})}F(x,y)dy+\int _{(\lambda _{2})}F(x,y)dy$.

È da avvertire che può darsi benissimo che l'una o l'altra delle $\lambda _{1},\lambda _{2}$ si annulli, cioè che $r$ non abbia intervalli interni

1. Nel corso di questa dimostrazione faremo, come si vedrà, alcune ipotesi sul campo $\tau$, e sul suo contorno, che sono del resto pochissimo restrittive in pratica. Appunto perciò alcune di essere sono enunciare soltanto a piè di pagina. Questo teorema vale del resto in casi estremamente più generali di quelli qui considerati.