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capitolo xvi — § 105

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a $\sigma _{1}$ od a $\sigma _{2}$. In tal caso l'integrale corrispondente del secondo membro di (1) si deve naturalmente considerare come nullo.

Se ne deduce facilmente che:

$\int dx\int _{(\lambda )}F(x,y)dy=\int dx\int _{(\lambda _{1})}F(x,y)dy+\int dx\int _{(\lambda _{2})}f(x,y)dy$,

ossia che il valore di

(2)                                        $\int dx\int F(x,y)dy$

corrispondente ad un'area $\sigma$ somma delle aree parziali $\sigma _{1},\sigma _{2}$ è uguale alla somma di valori (2) corrispondenti alle aree $\sigma _{1},\sigma _{2}$. Quindi (2) è funzione additiva di $\sigma$.

Si noti ora che, se $M$ ed $m$ sono il massimo ed il minimo della $F(x,y)$ nel campo $\sigma$,, il valore di (2) per il campo $\sigma$ è compreso tra

$\int dx\int Mdy=M\int dx\int dy$,

$\int dx\int mdy=m\int dx\int dy$.

Dimostriamo ora che:

Il valore di

                                                  $\int dx\int dy$                    (3)

esteso a un campo $\mathrm {\sigma }$ vale l'area di $\mathrm {\sigma }$.

Cominciamo col supporre che $\sigma$ sia incontrato in due punti al più di ogni parallela all'asse delle $y$. Lo $\int dy$ deve essere esteso all'intervallo $(y_{1},y_{2})$ determinato da $\sigma$ su una retta $x={\text{cost.}}$, cioè (se $y_{1}<y_{2}$) deve essere uguale a $y_{2}-y_{1}$¹. Cosicchè

(4)    $\int dx\int dy=\int _{l}^{L}(y_{2}-y_{1})dx=\int _{l}^{L}y_{2}dx-\int _{l}^{L}y_{1}dx$.

1. Si ammette che $y_{1}$ ed $y_{2}$ siano funzioni continue della $x$.