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capitolo xvi — § 105

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di una o più varabili. Tale profonda analogia si può rilevare per altra via anche dalle considerazioni seguenti.

Sia $I$ una figura piana; e sia $S$ una funzione additiva dei pezzi $\tau$ di $I$. Consideriamo quei pezzi $\tau$, che sono rettangoli coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui un vertice è un punto fisso di $I$ di coordinate $(a,b)$ è il vertice opposto è un punto mobile $x,y$. Per tali $\tau$ si ha, detta $F(x,y)$ la derivata di $S$, che $S(\tau )=\int _{a}^{x}dx\int _{b}^{y}F(x,y)dy$ è una funzione $\varphi (x,y)$ delle $x,y$. E la derivata $F$ della funzione $S(\tau )$ coincide con la derivata mista ${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial x}}$ della $\varphi$. L'sser. che chiude il § 80 (pag. 272), corrisponde perciò al teorema della media per le funzioni additive.

Questo risultato si estende subito ai campi a tre dimensioni notando, che posto

$\varphi (x,y,z)=\int _{a}^{x}dx\int _{b}^{y}dy\int _{c}^{z}F(x,y,z)dz$, si ha ${\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial y\partial z}}=F(x,y,z)$.

Esempi.

I. Si calcoli il volume V dell'ellissoide ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$.

Calcoliamo il volume ${\frac {V}{2}}$ del semiellissoide posto nella regione $z>0$. Tale semiellissoide si può considerare come un cillindroide avente per base $\sigma$ sul piano $xy$ l'ellisse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, e determinato dalla superficie $z=+c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}$.

I valori tra cui varia la $y$ di un punto di $\sigma$ su una retta $x={\text{cost}}$. sono chiaramente $\pm b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{3}}}}}=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$.

Quindi:

${\frac {V}{2}}=\int _{-a}^{+a}dx\left[\int _{-{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}^{+{\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}dy\right]=$

$={\frac {c}{2}}\int _{-a}^{+a}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{3}}}\right)dx={\frac {4}{3}}{\frac {\pi abc}{2}}$.