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cambiamento di variabili nelle formole, ecc.

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L'angolo $\varphi$ è la longitudine (contata a partire dal piano $xz$ come meridiano iniziale). Si trova:

$\int \int \int F(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=$

$=\int \int \int F(\rho \,{\text{sen}}\,\theta {\text{cos}}\,\varphi ,\rho {\text{sen}}\,\theta \,{\text{sen}}\,\varphi ,\rho {\text{cos}}\theta )\rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi$, come si prova osservando che il volume racchiuso tra due sfere di raggio $\rho$ e \rho+d\rho</math>, tra due coni di colatitudine $\theta$ e $\theta +d\theta$, e tra due semipiani di longitudine $\varphi$ e $\varphi +d\varphi$ vale $\rho ^{2}\,{\text{sen}}\,\theta \,d\theta \,d\rho \,d\varphi$ a meno di infinitesimi d'ordine superiore.

§ 108 bis — Integrali superficiali in coordinate generali.

I risultati di questo paragrafo saranno dimostrati più avanti in modo semplice benchè diretto. Noi qui faremo invece delle ipotesi analoghe a quelle fatte ai §§ 103 e seg. che del resto sarebbe facile giustificare in modo diretto.

I risultati a cui giungeremo, si debbono riguardare come l'estensione del metodo di integrazione in coordinate polari a coordinate qualsiasi. Useremo, p. es., i metodi intuitivi del § 108.

Sia $I$ un'area del piano $xy$; e siano <math<X, Y</math> due variabili: $X=X(x,y),Y=Y(x,y)$ funzioni delle $x,y$ in $I$.

Viceversa le $x,y$ si possano considerare come funzioni $x(X,Y)$ ed $y(X,Y)$ delle $X,Y$, così che un punto di $I$ si possa determinare tanto dando i corrispondendi valori delle $x,y$, quanto quelli delle X, Y</math>.

Dividiamo $I$ con linee $X={\text{cost.}},Y={\text{cost.}}$, indicando con $dX,dY$ gli incrementi che subisce la $X$ o la $Y$ per passare da una tale linea alla successiva; sostituiamo poi a quelli dei quadrangoli curvilinei tutti interni a $I$ limitati da due linee consecutive $X={\text{cost.}}$, e $Y={\text{cost,}}$ il quadrangolo rettilineo $Q$ che ha gli stessi vertici. L'area $I$ sarà così divisa in

$\alpha$) quadrangoli $Q$ rettilinei tutti interni a $I$,

ed in

$\beta$) poligoni $P$ curvilinei parte del contorno dei quali appartiene al contorno di $I$.

Noi ammetteremo:

1° Il contributo portato alle nostre somme da questi ultimi poligoni $P$ tende a zero, quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero.

2° Per calcolare i limiti che incontreremo (quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero) si possono far tendere a zero prima i $dX$, poi i $dY$ o viceversa.

Uno dei quadrangoli rettilinei $Q$ ha i vertici posti sulle intersezioni di una linea $X={\text{cost.}}$ e $X+dX={\text{cost.}}$ con due linee $Y={\text{cost.}}$ e $Y+dY={\text{cost.}}$. I suoi vertici $A,B,C,D$ saranno perciò i punti

               $A=[x(X,Y),y(X,Y)]$;}}

               $B=[x(X+dX,Y),y(X+dX,Y)]$;

               $C=[x(X,Y+dY),y(X,Y+dY)]$;

               $D=[x(X+dX,Y+dY),y(X+dX,Y+dY)]$.

E la sua area sarà la somma delle aree dei traingoli $ABC,BCD$¹. L'area del 1° vale (per nota formola di geometria analitica) il valore assoluto di

${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x(X,Y)&y(X,Y)&1\\x(X+dX,Y)&y(X+dX,Y)&1\\x(X,Y+dX)&y(X,Y+dY)&1\end{vmatrix}}$

1. Suppongo per semplicità che $A$ e $D$ sieno da bando opposte della retta $BC$. Come abbiamo già detto, una dimostrazione completa sarà data più tardi.