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equazioni differenzieli

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Le funzioni $y$ rappresentate dalla formola precedente insieme con la soluzione $y=0$ sono tutte e sole le funzioni che risolvono l'equazione differenziale che ci eravamo proposti di studiare.

In generale si può dire che, se si ha un'equazione differenziale del tipo:

                                        $XYdx+\xi \nu dy=0$,                    (7)

dove $X,\xi ,Y,\nu$ sono funzioni le prime di $x$ e le seconde di $y$, si può facilmente rendere il primo membro della (7) un differenziale esatto a variabili separate, dividendo ambo i membri della (7) per $\xi Y$.

Esempio.

Consideriamo la pila di un ponte; ne sia $S_{0}$ la sezione superiore; sia $x$ la distanza di un punto della pila da $S_{0}$, e sia $S(x)$ la sezione della pila posta alla distanza $x$ da $S_{0}$. Si richiede talvolta nella tecnica che l'incremento $S(x+h)-S8x)$ della sezione sia proporzionale al volume

$\int _{x}^{x+h}S(x)dx$

di quella parte di pila, che è racchiusa tra le sezioni poste alle distanze $x,x+h$ da $S_{0}$¹. Sarà perciò:

${\frac {S(x+h)-S(x)}{h}}=k{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}S(x)dx$

dove $k$ è una costante dipendente dal tipo di costruzione adottato.

Passando al limite per $h=0$ si trova:

$S'(x)=k\,S(x)$,

cioè:

${\frac {d\,S}{S}}=k\,dx$

donde:

$\log \,S=k\,x+{\text{cost.}}$

Poichè $S=S_{0}$ per $x=0$, sarà:

$\log \,S=k\,x+\log \,S_{0}$

$S=S_{0}e^{kx}$.

1. Èciò, perchè generalmente l'area di una tale sezione si fa proporzionale al carico complessivo (del ponte e della stessa pila), che gravita su tale sezione. Sulla $S_{0}$ gravita, p. es., soltanto parte del ponte.