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equazioni differenziali

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siamo dunque rispondere affermativamente alla domanda che chiude il § 114 affermando che:

Se sono note $\mathrm{n}$ soluzioni ${\mathrm{z}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{z}}_{\mathrm{2}},\mathrm{.....}{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ della equazione omogenea (1) od (1)_bis a Wronskiano differente da zero, tutte le altre soluzioni $\mathrm{y}$ sono le loro combinazioni lineai ${\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{.....}\mathrm{+}{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ a coefficienti $\mathrm{k}$ costanti.

Ma i nostri risultati permettono di affermare di più- Supponiamo che $y$ soddisfi non all'equazione omogenea (1)_bis, ma all'equazione non omogena.

(4) $y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_{n-1}{y}^{\prime }+p_n=f(x)$,

ferme restando le altre ipotesi sulle $z$. In tal caso, come sopra, si potranno ancora scrivere le (2), mentre la (4)_bis formano un sistema di $n$ equazioni di primo grado nelle $k^{\prime }$, che si possono risolvere con la regola di Leibniz-Cramer, perchè il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$, differenze da zero. Si possono così determinare le $k^{\prime }$ e quindi con $n$ integrazioni (una per ognuna delle $k^{\prime }$) dedurne i valori delle $k$. Ognuna delle $k$ porta perciò l'indeterminazione di una costante additiva; cioè, se $h_r$ è un integrale indefinito della $k{\text{'}}_r$ testè determinata, si ha:

$k_r=h_r+c_r$

($c_r=$ costante arbitraria).

Cosicchè sarà:

$y=k_1{z}_1+k_2{z}_2+\mathrm{.....}+k_n{z}_n=$

$=(h_1{z}_1+h_2{z}_2+\mathrm{.....}{h}_n{z}_n)+(c_1{z}_1+c_2{z}_2+\mathrm{.....}+c_r{z}_r)$.

Il secondo addendo del terzo membro è una combinazione lineare delle $z$, a coefficienti costanti c, da scegliersi in modo qualsiasi, cioè è una soluzione qualsiasi della equazione omogenea 81) od (1)_bis. E ciò è naturale perchè al § 114 abbiamo già visto che da una soluzione di (4) si passa alla soluzione più generale, aggiungendo ad essa la soluzione più generale della equazione omogenea corrispondente. Quindi:

Se le ${\mathrm{z}}_{\mathrm{r}}$ sono le $\mathrm{n}$ soluzioni a Wronskiano differente da zero dell'equazione omogenea (1) od (1)_bis, la soluzione più generale $\mathrm{y}$ dell'equazione (4) non omogena si ottiene ponendo $\mathrm{y}\mathrm{=}{\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{k}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{.....}\mathrm{+}{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$, ove le $\mathrm{k}$ siano integrali di quelle fun-