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equazioni differenziali

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siamo dunque rispondere affermativamente alla domanda che chiude il § 114 affermando che:

Se sono note $\mathrm {n}$ soluzioni $\mathrm {z_{1},z_{2},.....z_{n}}$ della equazione omogenea (1) od (1)_bis a Wronskiano differente da zero, tutte le altre soluzioni $\mathrm {y}$ sono le loro combinazioni lineai $\mathrm {k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}}$ a coefficienti $\mathrm {k}$ costanti.

Ma i nostri risultati permettono di affermare di più- Supponiamo che $y$ soddisfi non all'equazione omogenea (1)_bis, ma all'equazione non omogena.

(4) $y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n-1}y'+p_{n}=f(x)$,

ferme restando le altre ipotesi sulle $z$. In tal caso, come sopra, si potranno ancora scrivere le (2), mentre la (4)_bis formano un sistema di $n$ equazioni di primo grado nelle $k'$, che si possono risolvere con la regola di Leibniz-Cramer, perchè il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$, differenze da zero. Si possono così determinare le $k'$ e quindi con $n$ integrazioni (una per ognuna delle $k'$) dedurne i valori delle $k$. Ognuna delle $k$ porta perciò l'indeterminazione di una costante additiva; cioè, se $h_{r}$ è un integrale indefinito della $k'_{r}$ testè determinata, si ha:

$k_{r}=h_{r}+c_{r}$

($c_{r}=$ costante arbitraria).

Cosicchè sarà:

$y=k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}=$

$=(h_{1}z_{1}+h_{2}z_{2}+.....h_{n}z_{n})+(c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+.....+c_{r}z_{r})$.

Il secondo addendo del terzo membro è una combinazione lineare delle $z$, a coefficienti costanti c, da scegliersi in modo qualsiasi, cioè è una soluzione qualsiasi della equazione omogenea 81) od (1)_bis. E ciò è naturale perchè al § 114 abbiamo già visto che da una soluzione di (4) si passa alla soluzione più generale, aggiungendo ad essa la soluzione più generale della equazione omogenea corrispondente. Quindi:

Se le $\mathrm {z_{r}}$ sono le $\mathrm {n}$ soluzioni a Wronskiano differente da zero dell'equazione omogenea (1) od (1)_bis, la soluzione più generale $\mathrm {y}$ dell'equazione (4) non omogena si ottiene ponendo $\mathrm {y=k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}}$, ove le $\mathrm {k}$ siano integrali di quelle fun-