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capitolo xviii — § 115-116

Un caso particolare notevole è il seguente: Se l'equazione:

$\mathrm {z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+p_{2}z^{(n-2)}+.....+p_{n-1}z'+p_{n}z=0}$,

è soddisfatta dalle $\mathrm {n}$ funzioni $\mathrm {z_{1},z_{2},.....,z_{n}}$ a Wronskiano diverso sa zero, allora per ogni funzione $\mathrm {y}$ derivabile $\mathrm {n}$ volte si possono trovare delle funzioni $\mathrm {k}$ di $\mathrm {x}$ che soddisfano alle (1), (2). Le loro derivate $\mathrm {k'}$ soddisferanno alle (3), (3)_bis e alla 84), che nella nostra ipotesi diventa semplicemente

$\left.{\begin{matrix}\mathrm {y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n-1}y'+p_{n}y=} \\\mathrm {=k_{1}z_{1}^{(n-1)}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}+.....+k_{n}z_{n}^{(n-1)}} \end{matrix}}\right\}$(4)_bis

Se le $\mathrm {k}$ soddisfano alle (3), (3)_bis, la $\mathrm {y}$ definita da (1) soddisfa naturalmente anche alle (2) e (4).

§ 116. — Nuovi teoremi sulle equazioni lineari alle derivate ordinarie.

Applichiamo il lemma precedente alla domanda posta al § 114. Le $z_{1},z_{2},.....,z_{n}$ siano $n$ soluzioni al Wronskiano differente da zero della equazione omogenea

(1)$\left\{{\begin{matrix}z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+p_{2}z^{(n-1)}+.....+p_{n-2}z''+\\+p_{n-1}z'+p_{n}z=0.\end{matrix}}\right.$

Anche $y$ soddisfi a tale equazione; sia cioè

(1)_bis $y^{(n9}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p^{y-1}y'+p_{n}y=0$;

Si scriva la $y$ nella forma (1) del precedente lemma: sarò per le (3), (3)_bis del lemma stesso

(2)$\left\{{\begin{matrix}k'_{1}z_{1}&+k'_{2}z_{2}&+.....+k'_{n}z_{n}&=0\\k'_{1}z'_{1}&+k'_{2}z'_{2}&+.....+k'_{n}z'_{n}&=0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\k'_{1}{z_{1}}^{(n-2)}&+{k'_{2}}^{(n-2)}&+.....+k'_{n}{z_{n}}^{(n-2)}&=0\end{matrix}}\right.$

mentre la (4)_bis del lemma diventa nel nostro caso in virtù di (1)_bis

(3)     $k'_{1}z_{1}^{\left(n-1\right.,}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}=0$.

Le (2), (3) formano un sistema di $n$ equazioni lineari omogenee nelle $k'$, in cui il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$ che per ipotesi è differente da zero. Dunque (§ 27) le $k'$ sono nulle, cioè le $k$ costanti. Pos-