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capitolo xviii — § 115-116

Un caso particolare notevole è il seguente: Se l'equazione:

${\mathrm{z}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}}\mathrm{+}\mathrm{.....}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{z}}^{\prime }\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}\mathrm{z}\mathrm{=}\mathrm{0}$,

è soddisfatta dalle $\mathrm{n}$ funzioni ${\mathrm{z}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{z}}_{\mathrm{2}},\mathrm{.....},{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}$ a Wronskiano diverso sa zero, allora per ogni funzione $\mathrm{y}$ derivabile $\mathrm{n}$ volte si possono trovare delle funzioni $\mathrm{k}$ di $\mathrm{x}$ che soddisfano alle (1), (2). Le loro derivate ${\mathrm{k}}^{\prime }$ soddisferanno alle (3), (3)_bis e alla 84), che nella nostra ipotesi diventa semplicemente

$\begin{array}{c}{\mathrm{y}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{)}}\mathrm{+}\mathrm{.....}\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{y}}^{\prime }\mathrm{+}{\mathrm{p}}_{\mathrm{n}}\mathrm{y}\mathrm{=}\\ \mathrm{=}{\mathrm{k}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}\mathrm{+}\mathrm{k}{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}\mathrm{+}\mathrm{.....}\mathrm{+}{\mathrm{k}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{(}\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}}\end{array}\}$(4)_bis

Se le $\mathrm{k}$ soddisfano alle (3), (3)_bis, la $\mathrm{y}$ definita da (1) soddisfa naturalmente anche alle (2) e (4).

§ 116. — Nuovi teoremi sulle equazioni lineari alle derivate ordinarie.

Applichiamo il lemma precedente alla domanda posta al § 114. Le $z_1,z_2,\mathrm{.....},z_n$ siano $n$ soluzioni al Wronskiano differente da zero della equazione omogenea

(1)$\{\begin{array}{c}{z}^{(n)}+p_1{z}^{(n-1)}+p_2{z}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_{n-2}{z}^{″}+\\ +p_{n-1}{z}^{\prime }+p_{n}z=0.\end{array}$

Anche $y$ soddisfi a tale equazione; sia cioè

(1)_bis $y^{(n9}+p_1{y}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p^{y-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$;

Si scriva la $y$ nella forma (1) del precedente lemma: sarò per le (3), (3)_bis del lemma stesso

(2)$\{\begin{array}{cccc}k{\text{'}}_1{z}_1& +k{\text{'}}_2{z}_2& +\mathrm{.....}+k{\text{'}}_n{z}_n& =0\\ k{\text{'}}_{1}z{\text{'}}_1& +k{\text{'}}_{2}z{\text{'}}_2& +\mathrm{.....}+k{\text{'}}_{n}z{\text{'}}_n& =0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k{\text{'}}_1{z_1}^{(n-2)}& +{k{\text{'}}_2}^{(n-2)}& +\mathrm{.....}+k{\text{'}}_n{z_n}^{(n-2)}& =0\end{array}$

mentre la (4)_bis del lemma diventa nel nostro caso in virtù di (1)_bis

(3)     $k{\text{'}}_1{z}_1^{(n-1,}+k{\text{'}}_2{z}_2^{(n-1)}+\mathrm{.....}+k{\text{'}}_n{z}_n^{(n-1)}=0$.

Le (2), (3) formano un sistema di $n$ equazioni lineari omogenee nelle $k^{\prime }$, in cui il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle $z$ che per ipotesi è differente da zero. Dunque (§ 27) le $k^{\prime }$ sono nulle, cioè le $k$ costanti. Pos-