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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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(perchè i punti $A,B,C$ appartengono alla curva e al cerchio). I valori $a,a+h,a+k$ determinano due intervalli, ai cui estremi $F(t)$ si anetalla; entro ciascuno di essi esisterà almeno un punto ove $F'(t)$ è etallo (per il teorema di Rolle); e dentro l'intervallo , ci dui questi due punti sono gli estremi, esisterà almeno un punto, ove sarà etalla la derivata $F''(t)$ di $F'(t)$. Sia $t=b$ uno dei punti citati ove si anetalla $F8t)$ e sia $t=c$ uno dei punti ove si anetalla $F''(t)$¹ [Questi punti, appartenendo agli intervalli, di cui $a,a+h,a+k$ sono gli estremi, hanno (si ricordi) per limite il punto $a$, quando $h,k$ tendono a zero].

Sarà:

               $F(a)=[x(a)-\xi ]^{2}+[y(a)-\eta ]^{2}-R^{2}=0$                        (3)

     ${\frac {1}{2}}F'(b)=[x(b)-\xi ]x'(b)+[y'(b)-\eta ]y'(b)=0$                         (4)

${\frac {1}{2}}F''(c)=[x(c)-\xi ]x''(c)+[y(c)-\eta ]y'')c)+{x'}^{2}(c)+$

                                                  $+{y'}^{2}(c)=0$.                                                (5)

Supponiamo ora:

               $x'y''-x''y'\not =0$                per $t=a$ (nel punto $A$).               (6)

Sarà anche $x'(b)y''(c)-y'(b)x''(c)\not =0$, quando $b$ e $c$ sono abbastanza vicini ad $a$, ossia quando $|h|,|k|$ sono abbastanza piccoli (come noi ora supporremo).

Supposte note le $b,c$, le (4), (5) costituiscono un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite $\xi ,\eta$; che si possono risolvere perchè il determinante $x'(b)y''(c)-y'(b)x''(c)$ dei coefficienti delle incognite è diverso da zero. Determinate così le $\xi ,\eta$, la (3) ci permette di dedurne tosto il valore di $R$. È facile dedurne che da questa ultima ipotesi (6) segue lì'ipotesi iniziale che $A,B,C$ non sono in linea retta, che possiamo perciò non enunciare esplicitamente [perchè inclusa nella (6)].

I limiti di $\xi ,\eta ,R$ per $h=k=0$ sono evidentemente le quantità $\xi ,\eta ,R$ determinate dalle equazioni che si ottengono da (3), (4), (5) passando il limite per $h=k=0$, cioè, per quanto abbiamo già osservato, ponendo in (3), (4), (5) $b=c=a$;

1. Di tali punti $b$ ce ne sono almeno due; di punti $c$ almeno uno.