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capitolo xix — § 124

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tali equazioni¹ sono le

                    $(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}-R^{3}=0$                                         (7)

                    $(x_{0}-\xi )x'_{0}+(y_{0}-\eta )y'_{0}=0$                                               (8)

                    $(x_{0}-\xi ){x''}_{0}+(y_{0}-\eta ){y''}_{0}+{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}=0$                   (9)

dove, per semplicità, abbiamo indicato con $x_{0},y_{0}$ le coordinate $x(a),y(a)$ di $A$, e con $x'_{0},{x''}_{0},.....$ i valori corrispondenti (per $t=a$ di $x'(t),x''(t),.....$

Il cerchio che ha il centro in $(\xi ,\eta )$ e il raggio $R$ definiti da queste equazioni si considererà come il cerchio limite del cerchio $ABC$ e si dirà il cerchio osculatore alla nostra curva nel punto $A$ di coordinate $x_{0},y_{0}$.

Dalle (8), (9) si deducono i valori $\xi ,\eta$; donde per $(7)sitraeilvaloredi<math>R$. Sarà pertanto, abolendo per brevità l'indice $0$,

          $\xi =x-{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}y'$   ;   $\eta =y+{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}x'$             (10)

                         $B={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{|x'y''-x''y'|}}={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{x'y''-x''y'}}\epsilon$                         (11)

ove $\epsilon =+1$, oppure $\epsilon =-1$ secondo che $x'y''-x''y'$ è positivo o negativo.

Le (10) si possono scrivere:

$\xi =x-R\left[\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}\right]$, $\eta =y+R\left[\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}\right]$.

Ora la somma dei quadrati di $\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$ ed $\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$ vale $1$; esiste perciò un angolo $\theta$ tale che:

(12)$\left\{{\begin{matrix}{\text{cos}}\,\theta =\epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}},&{\text{sen}}\,\theta =\epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}},\\{\text{donde}}\,{\text{tg}}\,\theta ={\frac {y'}{x'}}={\frac {dy}{dx}}\end{matrix}}\right.$

Questo angolo $\theta$ è dunque l'angolo che la direzione positiva dell'asse delle $x$ forma con la retta tangente: angolo che la

1. Le seguenti equazioni si esprimono per così dire, che $t=a$ sarà una radice almeno tripla dell'equazione $[x(t)-\xi ]^{2}+[y(t)-\eta ]^{2}=R^{2}$; ciò che si suol enunciare dicendo che il cerchio osculatore ad una curva $C$ in un suo punto $A$ è quel cerchio, che ha con la $C$ almeno un contatto tripunto nel punto $A$.