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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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E ci si può proporre il problema di dedurne direttamente le coordinate $(\xi ,\eta )$ del punto ove tale retta tocca l'evoluta.

Per dare un altro esempio più semplice, i cerchi $C$ di equazione

$(x-a)^{2}+y^{2}-1=0$

(che hanno il centro in quel punto dell'asse delle $x$, che ha l'ascissa $a$, e che hanno $1$ per raggio) sono tutti (qualunque sia $a$) tangenti a ciascuna delle due rette $y=1,y=-1$. Ci si può porre il problema di dedurre direttamente questo teorema dalla equazione dei cerchi $C$.

Noi senz'altro esamineremo generalmente un sistema di infinite curve $C$ di equazione

                                                  $f(x,y,z)=0$                                               (1)

dove $a$ è un parametro costante lungo una corva del sistema, ma che varia da una all'altra curva.

Nel campo che consideriamo la $f$ e le sue derivate parziali del primo ordine sieno finite e continue.

Ricordo che il coefficiente angolare della retta tangente alla 81) nel punto $(x,y)$ vale $-{\frac {f'_{x}}{f'_{y}}}$ se, come supporremo, $f'_{x}\not =0$.

Supponiamo che esista una curva

                                                  $y=\varphi (x)$                                                  (2)

tale che per pgni punto $A$ di tale curva passi una e una sola curva 81) e che questa curva (1) sia tangente in $A$ alla curva (2). Cioè per ogni punto $A$ della curva (2) esiste un valore di $a$ tale che la curva 81) corrispondente a tale valore di $a$ passa per $A$ ed ivi tangente a (2). Questo valore di $a$ varia col punto $A$: è cioè una funzione $\Psi (x)$, che supporremo derivabile, della sua ascissa $x$.

Dunque ogni punto $A$ di ascissa $x$ e di ordinata $\varphi (x)$ soddisfa alla 81) ove di ponga $a=\Psi (x)$; cosicchè:

$f[x,\varphi (x),\Psi (x)]=0$

è un'identità- perciò derivando troviamo:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\varphi '(x)+{\frac {\partial f}{\partial s}}\Psi (x)=0$

[se $y=\varphi 8x)$; $a=\Psi (x)$]. Ma il coefficien angolare $\varphi '(x)$ della retta tangente a (2) nel punto $A$ è uguale al coefficiente

27 — G. Fusini, Analisi matematica.