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capitolo xix — § 124-125

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a $C_{1}$, nel punto $(\xi ,\eta )$. Ed è facile riconoscere che questa tangente a $C_{1}$ è normale alla curva $C$ descritta dal punto $x,y$. Infatti il coefficiente angolare della tangente a $C$ nel punto $(x,y)$ è data da ${\frac {dy}{dx}}$, che, in virtù delle equazioni citate, si riconosce uguale a ${\text{tg}}\,\theta$. Cosicchè si verifica appunto che le tangenti in $(x,y)$ a $C$ ed in $(\xi ,\eta <)$ a $C_{1}$ sono tra loro normali.

Osservazioni.

Supposto che la curva sia definita da una equazione $y=f(x)$, cioè dalle equazioni $y=f(t),x=t$, la (11) diventa, ricordando che $x'=1,x''=0$:

$R={\frac {(1+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{|y''|}}\,(y',y''$ derivate rispetto alla $x$).

Questa formola è di uso frequente.

Se invece $t=s$, la (11) diventa

${\frac {1}{R}}=|x'y''-y'x''|\,\,(x',x''$ ecc. derivate rispetto ad $s)$.

Come in fine del § 123, avremmo potuto definire il cerchio osculatore in $A$ come la posizione di un cerchio passante per $A$ e $B$, tangente in $A$ alla curva $\Gamma$, quando $B$ si avvicina ad $A$.

§ 125. — Inviluppi di una schiera di curve.

È molte volte comodo individuare una curva $\Gamma$, dando infinite linee $C$, tali che per ogni punto $A$ di $\Gamma$ passi una $C$ tangente in $A$ alla $\Gamma$.

Così, p. es., assai soesso si dà una curva $\Gamma$ definendo le rette $C$ tangenti a $\Gamma$ (si ricordi, p. es., l'equazione tangenziale di una conica $\Gamma$). Così assai soesso nelle scienze applicate a una curva $\Gamma$ si sostituisce una curva policentrica $\Gamma '$; si osserva cioè che $\Gamma$ è tangente a ciascuno dei suoi cerchi osclutaori $C$, e si sostituisce ala $\Gamma$ una curva $\Gamma '$ formata con un numero finito di archetti circolari: ognuno dei quali è un arco di un cerchio osculatore $C$¹. Infine la evoluta $\Gamma$ di una curva $E$ si può definire come la linea a cui sono tangenti le rette $C$ normali alla $E$.

Se, p. es., $y=f(x)$ è l'equazione di $E$, la retta $C$ normale alla $E$ nel punto di ascissa $a$ è definita dall'equazione:

$[y-f(a)]f'(a)+(x-a)=0$.

1. Basterebbe ricorrere a cerchi soltanto tangenti.