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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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Esempi.

$\alpha$) Così, p. es., la retta $C$ tangente alla $y=f(x)$ nel punto $[a,f(a)]$ ha per equazione

                              $y-f(a)-(x-a)f'(a)=0$                              (5)

Questa retta $C$ dipende da un parametro $a$; l'equazione del suo inviluppo si otterrà eliminando la $a$ tra la (5) e l'equazione centrato|$-f'(a)+f'(a)-(x-a)f''(a)=0$,}} ossia

$(x-a)f\,\,\,(a)=0$

che se ne deduce, derivando (5) rispetto ad $a$. Supposto che nessun trato della $y=f(x)$ sia un segmento rettilineo (caso affatto elementare), per un valore generico di $a$ sarà $f''(a)\not =0$. E dall'ultima equazione ssi deduce $x-a=0$, pssia $a=x$. Sostituendo in (5) si trova:

$y=f(x)$,

che è l'equazione della curva iniziale; il che si poteva prevedere pensando che una curva è l'inviluppo delle sue tangenti.

$\beta$) L'inviluppo delle rette normali ad una curva $y=f(x)$ è l'evoluta della curva. L'equazionedella normale nel pnto di coordinate $a,f(a)$ è:

                              $[y-f(a)]f'(a)+x-a=0$                              (6)

che dipende dal parametro $a$. Il punto corrispondente dell'evoluta sarà il punto $(x,y)$ che soddisfa insieme alla (6) ed alla

$1+[f'(a)]^{2}-[y-f(a)]f''(a)=0$

che si deduce da (6) derivandolo rispetto ad $a$.

Se nelle (6), (7) poniamo $x_{0}$ ed $y_{0}$ al posto di $a$ e $f(a)$, e poniamo $\xi ,\eta$ al posto delle $x,y$, queste equazioni si riducono alle (8), (9) del § 124 [ove si supponga $x=t$ e quindi $x'_{0}=1$. $x''_{0}=0,y'_{0})f'(a)$ ed ${y''}_{0}={f''}(a)$] Resta così di nuovo provato che:

Il punto dove la normale in $\mathrm {A}$ alla curva $\mathrm {y=f(x)}$ tocca l'evoluta della curva è il centro del cerchio osculatore in $\mathrm {A}$. E quindi: L'evoluta si può definire sia come inviluppo delle normali, che come luogo dei centri dei cerchi osculatori.