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capitolo xix — § 126

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§ 126- — Curvatura e torsione di una linea sghemba.

La teoria del cerchio osculatore, e della curvatura di una linea piana si può estendere alle curve sghembe. Noi estenderemo soltanto la definizione di curvatura, trattando della definizione analoga di torsione.

Partiamo dalla formola che dà la curvatura in $A$ come il limite del rapporto dell'angolo di due tangenti all'arco compreso tra i punti di contatto. Noi potremo generalizzare ponendo le seguenti definizioni (Cfr. questo §, $\gamma$):

$\alpha$) Sia $C$ una curva, da ogni punto $A$ della quale esca una retta $r$. Le coordinate $x,y,z$ di un punto $C$ e i coseni direttori $\lambda ,\mu ,\nu$ della retta corrispondente si potranno considerare come funzioni del relativo arco $s$ della curva, misurato a partire da un qualsiasi punto iniziale.

Sia $\theta$ l'angolo delle due rette uscenti da due punti $A,B$ di $C$; in $A$ l'arco $s$ abbia il valore $s_{0}$, in $B$ il valore $s_{0}+h$. Ammetteremo che quando $B$ si avvicina d math>A</math>, ossia per $h=0$, sia $\lim \theta =0$ (che cioè la direzione della retta $r$ varii con continuità al variare di $s$). Può darsi che $\lim _{h=0}{\frac {\theta }{h}}$ abbia un valore determinato. Proviamoci a determinarlo.

In tale ricerca possiamo moltiplicare ${\frac {\theta }{h}}$ per ${\frac {{\text{sen}}\,\theta }{\theta }}$, poichè

$\lim _{\theta =0}{\frac {{\text{sen}}\,\theta }{\theta }}=1$.

Il limite cercato diventa così il $\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}$.

Cerchiamo il limite per $h=0$ di questa espressione. La retta che esce da $A$ ha per coseni di direzione $\lambda ,\mu ,\nu$; quella che esce da $B$ avrà per coseni di direzione:

$\lambda +\Delta \,\lambda </mayh>,<math>\mu +\Delta \,\mu$, $\nu +\Delta \,\nu$

Una formola di Geometria Analisitica dice che (cfr. es. 1° a pag. 79)

${\text{sen}}^{2}\,\theta ={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda +\Delta \,\lambda &\mu +\Delta \,\mu &\nu +\Delta \,\nu \end{Vmatrix}}^{2}$.