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complementi varii

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il nostro teorema sarà dimostrato, sa riusciamo a dedurne che la $\psi (x)=0.$ Dalle (3) si sa che, qualunque siano le costanti $b_{i},c_{i}$, è:

$\int _{0}^{2\pi }\psi (x)|b_{0}+\sum _{r=1}^{n}\,b_{r}\,{\text{cos}}\,rx+\sum _{1}^{n}\,c_{r}\,{\text{sen}}\,rx|dx=0\,\,\,$(4)

e quindi, per il risultato dell'es. 15°, pag. 58, è:

$\int _{0}^{2\pi }\,\psi (x)\,F(x)\,dx=0,\,\,\,\,\,$(5)

se $F(x)$ è un qualsiasi polinomio nelle ${\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x$ a coefficienti costanti. Supponiamo ora che la funzione (continua) $\psi 8x)$ sia differente da zero in un punto $A$; essa sarà pure differente da zero in tutto un intorno di $A$, p. es. nell'intervallo ($\alpha ,\beta$), dove sarà, p. es., positiva, ossia avrà un minimo $m$ positivo. Vogliamo dimostrare che ciò è assurdo. Poniamo:

$F(x)=\left\{1+{\text{cos}}\,\left[x-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\right]-{\text{cos}}\,{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right\}^{2},\,\,\,\,\,$(6)

dove $n$ è un qualsiasi intero positivo. La espressione tra $\left\{\,\,\,\right\}$ supererà sempre $-{\text{cos}}\,\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)<-1$ e sarà maggiore di $1$ soltanto quando l'angolo $x$ varia nell'intervallo $(\alpha ,\beta$).

Indicheremo con $N$ il massimo finito della $\psi (x)$. L'intervallo $(0,2\pi$) si può decomporre nei seguenti intervalli parziali:

1° L'intervallo $(\alpha ,\beta )$.

2° Un intorno di $\alpha$ di lunghezza non superiore ad $\epsilon ={\frac {m}{4N}}|\beta -\alpha |$¹.

3° Un intorno di $\beta$ di lunghezza non superiore ad $\epsilon ={\frac {m}{4\,N}}|\beta -\alpha |$².

4° La parte residua di $\gamma$ di lunghezza

$\gamma \geq 2\,\pi -|\beta -\alpha |-2\,\epsilon$

Nell'intervallo $(\alpha ,\beta )$ è $\psi (x)\geq m>0,F(x)>1$; quindi l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a tele intervallo supera $m|\beta -\alpha |$.

1. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ($\alpha ,\beta$).
2. Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo ($\alpha ,\beta$).