Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/464

448

capitolo xxi — § 133

---

Nei due intorni ricordati di $\alpha$ e $\beta$ è $|F(x)|\leq 1$, $|\psi (x)|<N$. Quindi l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a questi due intorni non supera $2\,\epsilon \,N={\frac {m}{2}}|\beta -\alpha |$.

Consideriamo ora la parte residua $\gamma$. In \gamma</math> è sempre $|\psi (x)|\leq N$. Invece $1+{\text{cos}}\,\left[x-{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right]-{\text{cos}}\,{\frac {\alpha -\beta }{2}}$ è sempre minore di $1$ in valore assoluto: cioè il suo massimo valore assoluto è un numero $\sigma <1$. Quindi la $F(x)$ definita dalla (6) è minore di $\sigma ^{n}$. E l'integrale di $\psi (x)F(x)$ esteso a $\gamma$ non supererà $\gamma \,N\,\sigma ^{n}$, e quindi, poichè $\sigma <1$, diventa piccolo a piacere, p. es. minore di ${\frac {m}{4}}|\beta -\alpha |$, quando $n$ è abbastanza grande.

L0integrale di $\psi (x)F(x)$, esteso a tutto l'intervallo $(0,2\pi )$ è uguale alla somma degli integrali di $\psi (x)F(x)$ estesi ai citati intervalli parziali; ed uguale perciò alla somma:

1° di un numero positivo maggiore di $m|\beta -\alpha |$;

2° di un numero che in valore assoluto non supera ${\frac {m}{2}}|\beta -\alpha |$;

3° di un numero che in valore assoluto non supera ${\frac {m}{4}}|\beta -\alpha |$.

Esso è dunque maggiore di $|\beta -\alpha |$ moltiplicato per $m-{\frac {m}{2}}-{\frac {m}{4}}={\frac {m}{4}}$; ciò che è assurdo, perchè noi sappiamo che esso è nullo. È dunque assurdo ammettere che $\psi (x)$ non sia identicamente nullo.

Più generalmente si dimostra che: la (1)_bis, i cui coefficienti siano determinati da (2) in un punto $\mathrm {x=a}$ ove $\mathrm {f(x)}$ sia discontinua, ha per somma $\mathrm {{\frac {1}{2}}[\lim _{x=a+}\,f(x)+\lim _{x=a-}\,f(x)}$ se questi due limiti esistono e sono finiti [purchè esistano e siano finiti anche i $\lim _{x=a\pm }f'(x)$ e $\lim _{x=a\pm }f00(x)$], Anche questo risultato vale del resto in casi estremamente più generali.