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capitolo xxi — § 134

che, per il teorema del § 83, si può scrivere:

$\int _{a}^{b}\left\{z(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}+z'(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}\right\}_{y=\varphi +tz}\,dx=0\,\,\,\,\,$ per $t=0$

E, osservando che per $t=0$ la $\varphi +tz$ si riduce alla $\varphi$, questa equazione ci dice che la funzione $y=\varphi (x)$ cercata soddisfa alla

$\int _{a}^{b}\,z(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}dx+\int _{a}^{b}\,z'(x){\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}\,dx=0$.

Integrando per parti il secondo di questi due integrali, esso diventa:

$\left[z(x){\frac {\partial f(x,y,t')}{\partial y'}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\,z(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]\,dx$.

Il primo termine è nullo, perchè $z(x)=0$ per $x=a$ e per $x=b$. La nostra equazione si riduce così alla:

$\int _{a}^{b}z(x)\left\{{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]\right\}dx=0\,\,\,$(1)

che deve valere, qualunque sia la funzione derivabile $z(x)$ nulla per $x=a$ e per $x=b$. io dico che la quantità tra $\left\{\,\,\right\}$ dovrà esser nulla, che cioè

${\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right]=0.\,\,\,\,\,$(2)

Se infatti così non fosse, ed essa fosse differente da zero, p. es. positiva in un punto $x=c$, essa sarebbe positiva in tutto un intorno $(\alpha ,\beta )$ di $c$. Porremo in tal caso

$z(x)=(x-\alpha )^{4}(x-\beta )^{4}$ nell'intervallo $\alpha ,\beta )$,

$z(x)=0$ in tutti i punti di $(a,b)$ esterni all'intervallo $(\alpha ,\beta )$. 4La funzione $z(x)$ così definita soddisfa alle condizioni citate.

Poichè $z(x)$ è nullo fuori dall'intervallo $(\alpha ,\beta )$, la (1) si riduce alla

$\int _{\alpha }^{\beta }z(x)\left\{{\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y'}}\right)\right\}dx=0$;

ciò che è assurdo, perchè nelle attuali ipotesi, tanto $z(x)$ quanto la quantità tra graffe $\left\{\,\,\,\right\}$ sono positive in ogni punto interno all'intervallo $(\alpha ,\beta )$ di integrazione, cosicchè l'integrale è positivo e differente da zero. La nostra ipotesi è quindi assurda; vale