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i numeri complessi

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Supponiamo $\rho$ così piccolo che

$r\rho ^{h}<1$	cosicchè $1-r\rho ^{h}$ è positivo
$\rho <1$	cosicchè $1-\rho ^{m-h}$ è minore di $1$
${\frac {A\rho }{1-\rho }}<1$	cosicchè $r\rho ^{h}>Ar{\frac {\rho ^{h+1}}{1-\rho }}$.

Da (1) si dedurrà

$P(z)\leq 1-r\rho ^{h}+Ar{\frac {\rho ^{h+1}(1-\rho ^{m-h})}{1-\rho }}<1-r\rho ^{h}+Ar{\frac {\rho ^{h+1}}{1-\rho }}<1$.

Possiamo dunque dare alla $z$ un valore tale che $|P(z)|<1$.

Moltiplicando $P(z)$ per un numero $k\neq 0$, e mutando $z$ in $z-\alpha$ si trova:

Se un polinomio P(z) ha per ${\text{z}}=\alpha$ un valore ${\text{k}}\neq 0$, esiste qualche valore di z per cui il polinomio assume un valore, che in modulo è minore di $|{\text{P}}(\alpha )|$.

Senza parlare delle potenze più generali (ad esponente fratto, irrazionale o anche complesso) noi parleremo ancora soltanto di $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$ per $n>1$ intero positivo. Con tale simbolo noi indicheremo ogni numero complesso, la cui $n^{esima}$ potenza sia uguale ad $x$.

Siano $\rho$, $\theta$ il modulo e l'argomento della $x$; cosicchè $x=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$. Siano analogamente $r$, $\delta$ modulo e argomento di ${\sqrt[{n}]{x}}$. Per definizione

$\left\{r(\cos \delta +i\operatorname {sen} \delta )\right\}^{n}=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

ossia:

$r^{n}(\cos n\delta +i\operatorname {sen} n\delta )=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

Cosicchè $r^{n}=\rho$, ed $n\delta$ differisce da $\theta$ per un multiplo di $2\pi$. Cioè il modulo r di ${\sqrt[{n}]{\text{x}}}$ uguaglia il valore (aritmetico) della radice ${\text{n}}^{\text{esima}}$ del modulo $\rho$ della x. E l'argomento $\delta$ di ${\sqrt[{n}]{\text{x}}}$ vale ${\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}$, dove $\theta$ è l'anomalia della x e k è un intero.

Così avremo:

${\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left\{\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)+i\operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}\right)\right\}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{n}}\right\}\varepsilon _{k}$

dove si è posto:

$\varepsilon _{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}$.

Ora al variare di $k$ ($k=$ intero) quanti valori può ricevere la quantità $\varepsilon _{k}$ qui definita?