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polinomii ed equazioni algebriche

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cienti reali. I fattori di primo grado corrispondono alle radici reali della $\mathrm {P(x)=0}$. I fattori di secondo grado corrispondono alle radici complesse. Anzi ognuno di questi fattori individua una coppia di radici immaginarie coniugate.

Se il polinomio è di grado dispari, evidentemente esso non può essere prodotto di soli fattori di secondo grado. Quindi:

Ogni equazione di grado dispari a coefficienti reali possiede almeno una radice reale.

Sarà bene enunciare esplicitamente la osservazione iniziale:

Se $\mathrm {P(x)=0}$ è un’equazione a coefficienti reali che possiede una radice complessa, essa possiede anche la radice immaginaria coniugata. Essa si può, per quanto abbiamo qui dimostrato, generalizzare così: Se un’equazione P(x) a coefficienti reali possiede r radici complesse uguali a un numero $\mathrm {\alpha +i\beta }$, essa possiede anche r radici uguali al numero complesso coniugato $\mathrm {\alpha -i\beta }$.

In tal caso tra i precedenti fattori ve ne sono $r$ uguali ad $(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}$.

§ 17. — Sistemi di equazioni algebriche.

$\alpha )$ Se $f(x)=0$, $g(x)=0$ sono due equazioni algebriche, che hanno comune la radice $\alpha$, allora $x-\alpha$ è divisore sia di $f(x)$ che di $g(x)$ e quindi anche del loro massimo comun divisore; cioè $\alpha$ è radice dell’equazione, ottenuta uguagliando a zero tale M. C. D. E reciprocamente, una radice di questa ultima equazione è radice comune delle $f(x)=0$, $g(x)=0$. Se tale M. C. D. è una costante (differente da zero), se cioè $f(x),g(x)$ sono primi tra di loro, le equazioni $f(x)=0$, $g(x)=0$ non avranno radici comuni.

$\beta )$ Si può scrivere in vari modi la condizione necessaria e sufficiente affinchè le equazioni $f(x)=0$, $g(x)=0$ abbiano almeno una radice comune.

Se per esempio $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ sono le radici della $g(x)=0$, basta esprimere che è nulla almeno una delle $f(\alpha _{1}),f(\alpha _{2}),\ldots ,f(\alpha _{m})$, ossia che il loro prodotto

$f(\alpha _{1})f(\alpha _{2})\ldots f(\alpha _{m})=0$.

Il primo membro di questa equazione, essendo un polinomio simmetrico delle radici della $g(x)=0$, si può calcolare (§ 14, δ) senza risolvere questa equazione. Tale polinomio (che si può calcolare anche in altri modi, per esempio, esprimendo che almeno una