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polinomii ed equazioni algebriche

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22° L’equazione $x^{n}-1=0$ ha per radici $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{n}$, cioè le radici $n^{esime}$ dell’unità. Queste radici soddisfano dunque alle:

$\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n}=0;\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n-1}\varepsilon _{n}=0$

$\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}+\ldots +\varepsilon _{n-2}\varepsilon _{n-1}\varepsilon _{n}=0;..............................;$

$\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n-1}+\ldots +\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\ldots \varepsilon _{n}=0;\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}=(-1)^{n+1}$.

23° Calcolare i coefficienti di un’equazione di 4° grado, che ha per radici $0,1,-1,2$.

Ris. L’equazione è $x(x^{3}-2x^{2}-x+2)=0$.

24° Calcolare la somma delle prime, o delle seconde, o delle terze potenze delle radici dell’equazione

$x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-1=0$.

Ris. Dalle $s_{1}-2=0$, $s_{2}-2s_{1}+8=0$, $s_{3}-2s_{2}+4s_{1}=0$ si trae $s_{1}=2$, $s_{2}=-4$, $s_{3}=-16$.

25° Trovare le radici razionali di $x^{3}-{\frac {7}{2}}x_{2}+{\frac {7}{2}}x-1=0$.

Moltiplicando per 2 l’equazione diventa

$2x^{3}-7x^{2}+7x-2=0$.

Se ${\frac {\alpha }{\beta }}$ è una radice razionale, mutando, caso mai, i segni di $\alpha ,\beta$ (ciò che non muta la nostra radice) possiamo renderne il denominatore $\beta$ positivo. Il numero $\beta$ è da scegliersi tra i divisori positivi di $a_{0}=2$, cioè vale 1 oppure 2; il numero $\alpha$, essendo un divisore positivo o negativo di $a_{2}=-2$, potrà avere uno dei valori $\pm 1$, $\pm 2$. Le eventuali radici razionali sono dunque da cercarsi tra i numeri $\pm 1$, $\pm {\frac {1}{2}}$; $\pm 2$. Si trova che 1, 2, ${\frac {1}{2}}$ sono effettivamente radici.

26° Risolvere l’equazione $x^{3}+x^{2}+2x+2=0$ (cercando dapprima le sue radici razionali).

Una tale equazione (per cui $a_{0}=1)$ non ha radici fratte; si trova che $-1$ è una radice intera. Dividendo il primo membro per $x+1$, l’equazione si riduce ad $x^{2}+2=0$, che determina le altre due radici $\pm i{\sqrt {2}}$.

27° L’equazione $x^{3}+2x^{2}+x+2=0$ ha $i$ come radice. Risolvere l’equazione.