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capitolo v — § 20

Il teorema è evidente per i determinanti di ordine 2. Ammesso il teorema per determinanti di ordine $n-1$, dimostriamolo per un determinante $D$ di ordine $n>2$. Il teorema sarà così completamente provato col metodo di induzione completa. Scambiamo in $D$, per esempio le righe $r^{esima}$ ed $s^{esima}$. Consideriamo la $t^{esima}$ riga con $t\not =r$, $t\not =s$. Scambiando le righe di posto $r$ ed $s$, si scambiano due righe nel complementi algebrici degli elementi di tale $t^{esima}$ riga, che sono (a meno del segno) determinanti di ordine $n-1$ e per i quali vale per ipotesi il teorema. Basta ricordare lo sviluppo di $D$ ottenuto partendo dalla $t^{esima}$ riga, perchè il teorema risulti provato anche per $D$.

Teorema III. Se un determinante ha due righe parallele uguali, esso è nullo. Infatti, scambiando tali righe, $D$ resta immutato; $D=-D$, cioè $D=0$.

Teorema IV. Se io moltiplico i complementi degli elementi di una linea di D rispettivamente per delle quantità $\mathrm {l_{1},l_{2},l_{3}} \ldots$ e sommo, il numero così ottenuto è uguale al determinante $\mathrm {D'}$ che si deduce dal dato, sostituendo le $\mathrm {l_{1},l_{2},l_{3}} \cdots$ ordinatamente al posto degli elementi della linea considerata.

Così, per esempio, se

$D={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$ si ha per esempio $l_{1}A_{2}+l_{2}B_{2}+l_{3}C_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\l_{1}&l_{2}&l_{3}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=D'$

Infatti i complementi delle $a_{2},b-2,c_{2}$ in $D$ e quelli delle $l_{1},l_{2},l_{3}$ in $D'$ sono per il teorema I di pagina 65 ordinatamente uguali. Ora per definizione $D'$ vale la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando le $l_{1}$, $l_{2}$, $l_{3}$ per i loro complementi algebrici in $D'$, che per la precedente osservazione valgono appunto i complementi algebrici $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ delle $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ in D.            come dovevasi dimostrare.

Teorema V. La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi di una linea ordinatamente per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra linea parallela alla prima e sommando, è nulla.

Così, per esempio, per il determinante $D$ del precedente teorema IV e $a_{1}A_{2}+b_{1}B_{2}+c_{1}C_{2}=0$, oppure $a_{1}B_{1}+a_{2}B_{2}+a_{3}B_{3}=0$, eccetera. Infatti la somma dei prodotti degli elementi $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ della prima riga per i complementi degli elementi $a_{2},b_{2},c_{2}$ della seconda riga vale (per il teorema IV ove si ponga $l_{1}=a_{1}$, $l_{2}=b_{1}$, $l_{3}=c_{1}$) quel determinante $D'$ che si ottiene da $D$ scrivendo $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ al