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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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dall’elemento e di incrocio) e per il complemento algebrico di b nel complemento algebrico A di a e si sommino i risultati così ottenuti.

$R'$ si otterrebbe similmente sommando i prodotti di ogni $a$ per ogni $b$ e per il complemento di $a$ nel complemento $B$ di $b$ . Per il teorema II sarà dunque $R=R'$ , come dovevasi dimostrare.

Osservazione - Da questa dimostrazione segue che il valore di un determinante si ottiene sommando insieme:

$\alpha )$ il prodotto di un suo elemento $c$ scelto ad arbitrio per il suo complemento algebrico;

$\beta )$ i prodotti ottenuti moltiplicando un elemento $a$ posto sulla riga di $c$ per un altro elemento $b$ posto sulla stessa colonna di $c$ , per il complemento algebrico di $a$ nel complemento di $b$ (o, cioè che è lo stesso, il complemento di $b$ nel complemento di $a$ ).

Un risultato analogo si ottiene se gli stessi elementi $a$ , $b$ , descrivono due linee parallele, per esempio due righe, restando però sempre in colonne distinte. In tale caso naturalmente non si parla più di elemento di incrocio.

§ 20. — Proprietà di un determinante.

Teorema I. Se noi scambiamo ordinatamente le righe con le colonne, il determinante D non muta (cioè diventa un determinante $D'$ uguale a D).

(Per esempio ${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}})$ .

Ciò si può dimostrare o notando che per la stessa definizione le righe e le colonne hanno lo stesso ufficio nel calcolo di $D$ , oppure [ammesso il teorema per i discriminanti di ordine più piccolo dell’ordine di $D$ , perchè il teorema è evidente per i determinanti di ordine 1, 2] osservando che, sviluppando $D$ secondo gli elementi della prima riga, si ha un risultato identico come sviluppando $D'$ a partire dalla prima colonna.

Teorerma II. Trasponendo (scambiando) due linee parallele, il determinante D cambia di segno (cioè si muta in un determinante $D'=-D$ ; anzi i termini di $D'$ sono ordinatamente uguali e di segno opposto a quelli di $D$ )¹.

↑ Un determinante $D$ di ordine $n$ è una somma di più quantità $T$ , ciascuna delle quali è un prodotto di $n$ elementi del determinante stesso. Queste $T$ si dicono i termini di $D$ (confronta i teoremi del seguente § 21). Un termine $D$ è il prodotto di un suo elemento per un termine del complemento algebrico dell’elemento stesso.

[1] Un determinante $D$ di ordine $n$ è una somma di più quantità $T$ , ciascuna delle quali è un prodotto di $n$ elementi del determinante stesso. Queste $T$ si dicono i termini di $D$ (confronta i teoremi del seguente § 21). Un termine $D$ è il prodotto di un suo elemento per un termine del complemento algebrico dell’elemento stesso.

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