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capitolo v — § 24

Un sistema [1] è equivalente al sistema che se ne deduce moltiplicando una delle sue equazioni per un numero differente da zero, e aggiungendo ad essa le precedenti equazioni moltiplicate per un numero arbitrario, mentre si lasciano invariate le altre equazioni di [1].

Nell’algebra elementare si insegna a risolvere un tale sistema, mostrando che, dato un sistema di più equazioni in più incognite, se ne può generalmente dedurre uno con un minor numero di incognite eliminando almeno una incognita. Nelle righe seguenti ci occupiamo in generale dell’eliminazione anche di più incognite da un tale sistema di equazioni.

Cominciamo dal considerare un sistema di $n+1$ equazioni in $n$ incognite; e, per fissare le idee, supponiamo $n=3$. Ragionamento e risultato valgono però in generale. Siano

(2)	${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}\\a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}=\alpha _{4}\end{cases}}$

le date equazioni.

Consideriamo il determinante

(3)	$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\alpha _{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\alpha _{3}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&\alpha _{4}\end{vmatrix}}$

Con $A_{r}$ indichiamo il complemento algebrico di $\alpha _{r}$

$(r=1,2,3,4)$.

Sarà $D=\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+\alpha _{3}A_{3}+\alpha _{4}A_{4}$. Supponiamo $A_{4}\not =0$.

Per la precedente osservazione il sistema (2) si muta in un sistema equivalente se noi, pur lasciando immutate le prime tre equazioni, sostituiamo alla quarta l’equazione che si ottiene moltiplicandola per $A_{4}$ ed aggiungendo le prime tre moltiplicate rispettivamente per $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$. Vale a dire il sistema (2) si trasforma in un sistema equivalente se ne conserviamo le prime tre equazioni, e alla quarta sostituiamo:

(4)	$A_{1}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3})+A_{2}(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3})+$
	$+A_{3}(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3})+A_{4}(a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3})=$
	$=\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+\alpha _{3}A_{3}+\alpha _{4}A_{4}$.