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[ Fig. 3^a.]Nella Iperbola $a<b$: dunque $a-b$ è quantità negativa: perilche i punti $C$, $v$ saranno posti dòpo i punti $F$, $V$, $A$, onde è manifesto, che l’iperbola ha un ramo ve posto dòpo il ramo $VE$, e la direttrice $AD$.

Proposizione III

[Fig.1^a. 2^a. 3^a.]Se una linea $DE$ parallela al primo asse taglia la Sezzione Conica in $E$, trovar l’altro punto e, dove ella taglia nuovamente la Sezzione.

Dai punti $E$, $e$ si conducano $EF$, $eF$ al foco, dal quale si conduca $FP$ perpendicolare al primo asse, ed alle sue paralelle. Chiamisi $Ee=z$, $DE=s$: nelle altre si ritengano le denominazioni della antecedente proposizione. $PD=AF=a+b$. Dunque, se $P$ cade fuori della Sezzione, sarà $PE=s-a-b$. Ma se $P$ cade dentro la Sezzione, sarà $PE=a+b-s$; e $P$ sempre $=z+s-a-b$. Imperochè, se $P$ cade fuori della Sezzione, devesi aggiungere $EP$ alla retta $Ee$, e se cade al di dentro della sezzione, dalla retta $Ee$ devesi sottrarre la $EP$, perchè si abbia la $eP$. Ma per la proprietà della Sezzione Conica è $AV:VF=DE:EF={\frac {bs}{a}}$

$a:b=s:{\frac {bs}{a}}$ Di più stà

$AV:VF=De:eF={\frac {bs+bz}{a}}$

$a:b=s+z:{\frac {bs+bz}{a}}$

Ma perchè l’angolo in $P$ è retto

$EF^{2}-PE^{2}=eF^{2}-Pe^{2}$: poichè ciascuna parte $=FP^{2}$.