Pagina:Manuale di economia politica con una introduzione alla scienza sociale.djvu/523

[§ 21]

appendice

513

tale equazione deve avere luogo non solo pel punto di equilibrio, ma anche lungo la via seguita nei baratti.

Supponiamo che il prezzo abbia la forma

(37)

$p=\mu _{1}+h_{1}y_{1}=\mu _{2}+h_{2}y_{2}$

Tenendo conto della (33), si ottiene

$\mu _{1}+h_{1}y_{1}=\mu _{2}+h_{2}(\mathrm {Y} -y_{1})=0;$

e poichè tale equazione deve avere luogo, qualunque valore abbia y₁, essa si scinde nelle due seguenti

(38)

$h_{2}=-h_{1},\;\;\mu _{2}=\mu _{1}+\mathrm {Y} h_{1};$

rimangono dunque solo da determinare le due costanti μ₁, h₁.

Indichiamo con x₁₀, x₂₀, y₁₀, y₂₀, i valori iniziali di x₁, x₂, y₁, y₂, e integriamo le equazioni che dànno il prezzo, per avere le funzioni indicate precedentemente con f₁, f₂, avremo

$f_{1}=x_{1}-x_{10}+\mu _{1}(y_{1}-y_{10})+{\frac {h_{1}}{2}}(y_{1}^{2}-y_{10}^{2})=0$

$f_{2}=x_{2}-x_{20}+\mu _{2}(y_{2}-y_{20})+{\frac {h_{2}}{2}}(y_{2}^{2}-y_{20}^{2})=0.$

Queste due equazioni dànno una sola via per i baratti, in grazia delle equazioni (37), (33), (38). Una di quelle equazioni è conseguenza delle altre e deve essere soppressa.

L’equilibrio sarà quindi determinato dalle equazioni

(39)

${\begin{cases}\varphi _{1x}f_{1y}-\varphi _{1y}f_{1x}=0,\;\;\varphi _{2x}f_{2y}-\varphi _{2y}f_{2x}=0,\\f_{1}=0,\;\;f_{2}=0,\;\;y_{1}+y_{2}=\mathrm {Y} .\end{cases}}$

Sono 5 equazioni, che determinano le 4 quantità

Economia politica. - 33.