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| intorno alle superficie della seconda classe ecc. | 87 |
Se Φ > 0 la superficie è o reale e rigata, o imaginaria; ha luogo il primo caso se una qualunque delle sei funzioni θ, Ξ è negativa. Nel secondo caso le sei funzioni sono tutte positive.
Se Φ < 0 la superficie è reale e non rigata: e propriainente è un ellissoide se le funzioni θ sono tutte positive, e le Ξ tutte negative; invece se un θ è negativo, ovvero se un Ξ è positivo la superficie è un iperboloide a due falde.
Se Φ = 0 l’equazione (5) rappresenta una conica. Questa è iperbole se le funzioni θ sono negative; ellisse se le funzioni θ sono positive, e le Ξ negative; imaginaria se le funzioni θ e Ξ sono tutte positive.
Le anzidette condizioni non sono però tutte indipendenti fra loro: su di ciò basta osservare quanto segue:
Affinchè la superficie sia ideale basta che si abbia Φ > 0; e che un θ e un Ξ d’indice diverso siano positivi; allora tutte le sei funzioni θ e Ξ sono positive.
Affinchè la superficie sia un ellissoide basta che sia Φ < 0, uno dei θ positivo, e un Ξ d’indice diverso negativo, allora tutt’i θ sono positivi, e tutt’i Ξ negativi.
Se Φ = 0 tutt’i θ hanno lo stesso segno.
6.º Il paraboloide (3) è iperbolico o ellittico secondo che la quantità:
αβγ(α + β + γ)
è negativa o positiva. Le quattro coniche (1) sono ordinatamente ellissi o iperboli secondo che i prodotti:
abcαβγ, bc, ca, ab
sono negativi o positivi. Nel primo caso però, oltre queste condizioni, devono essere soddisfatte anco queste altre, senza le quali le coniche sarebbero ideali:
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le quali equivalgono ad una sola condizione per ciascuna conica. Le (8) danno:
βγ(β’γ — βγ’) > 0 γα(αγ’ — αγ < 0 αβ(α’β — αβ’) > 0
ossia, in virtù delle (4):
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aβγ(α + β + γ) > 0 bγα(α + β + γ) < 0 cαβ(α + β + γ) > 0
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