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| 94 | intorno alle superficie della seconda classe ecc. |
da cui:
γ — iγ’ > 0
cioè:
— iγ’ > — γ
ossia, essendo γ e γ’ quantità negative:
epperò i non compreso fra zero e λ.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ > 0; inoltre Θ1 > 0 perchè λ’’ > 0, λ’’ — λ < 0, Ξ2 > 0 perchè λ — μ’ > 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ < 0, Θ1 < 0.
Per i > ν si ha Φ > 0 e Ξ2 < 0 perchè ν — μ’ > 0.
Dunque in questo caso corrispondono iperboloidi ad una falda al primo e quinto segmento; iperboloidi a due falde al secondo e quarto; superficie ideali al terzo.
Settimo caso.
15.º In questo caso si ha:
α > 0, β > 0, γ < 0, a > 0, b < 0, c < 0.
Per i < 0 si ha Φ < 0, Θ1 > 0, Ξ3 < 0.
Per i compreso fra lo zero e λ si ha Φ > 0 e Ξ1 < 0 perchè λ — λ’ < 0.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ < 0 e Ξ2 > 0 perchè μ — μ’ < 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ > 0, Θ1 > 0, perchè λ’’ > 0, λ’’ — λ < 0, e Ξ2 > 0 perchè ν — μ’ < 0.
Per i > ν si ha Φ > 0, Θ1 < 0.
Dunque nel caso attuale corrispondono ellissoidi al primo segmento; iperboloidi ad una falda al secondo; iperboloidi a due falde al terzo e quinto; superficie ideali al quarto.
16.º Nelle cose precedenti abbiamo sempre supposto che le equazioni (1) rappresentassero coniche nel significato più generale della parola, cioè iperboli od ellissi (reali o ideali). Ma una di esse (ed una sola) potrebbe essere una parabola; per es. lo sarebbe la quarta se si avesse γ’ = 0. Allora non si ha più paraboloide, perchè l’equazione (3) viene a coincidere colla quarta delle (1), avendosi in tal caso:
aα’ + bβ’ = 0.
In questa ipotesi hanno luogo ancora i casi sopra considerati, ad eccezione del settimo,
