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intorno alle superficie della seconda classe ecc.

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che non può più verificarsi, perchè, essendo attualmente :

$\gamma +b-a=0$

non può più aversi simultaneamente $\gamma <0$, $a>0$, $b<0$. Dalla locale de’ centri scompare l’ultimo segmento, e il quarto diviene indefinito, allontanandosi il punto $\mathrm {R}$ all’infinito. Pei quattro segmenti che rimangono hanno luogo ancora tutte le conseguenze a cui siamo arrivati pei primi quattro segmenti nel caso generale che il punto $\mathrm {R}$ sia a distanza finita.

17.º È interessante il caso che una delle quantità costanti che entrano nelle (1) sia nulla. Sia $\gamma =0$; allora la prima e la quarta delle (1) coincidono perchè:

$a\alpha +b\beta =0$

e la prima e quarta conica degenerano nel medesimo sistema di due punti, che sono i vertici dei due coni di seconda classe in cui si decompone attualmente la superficie sviluppabile circoscritta. In tal caso la seconda e la terza conica sono quelle nelle quali si segano i coni medesimi.

La distribuzione dei centri delle superficie (5) si deduce dalle conclusioni generali esposte superiormente, supponendo che due punti consecutivi, fra i quattro $\mathrm {O}$, $\mathrm {P}$, $\mathrm {Q}$, $\mathrm {R}$, si riuniscono in un solo. Siano $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ i centri delle due coniche, ed $\mathrm {M}$ il punto medio della retta congiungente i vertici de’ due coni, il qual punto è sulla retta $\mathrm {AB}$ ed è quello in cui si sono riuniti i centri delle due coniche. Se la riunione dei centri di due coniche nel punto $\mathrm {M}$ si fa ne’ primi quattro casi (numeri 8, 9, 10, 11) risulteranno reali sì le due coniche rimanenti che i vertici dei due coni. Ma se invece assumiamo gli altri tre casi (numeri 13, 14, 15), allora se riuniamo in $\mathrm {M}$ i centri delle due coniche ideali, le coniche rimanenti saranno reali, e ideali i vertici dei due coni; se riuniamo in $\mathrm {M}$ i centri delle due coniche reali (ove siano consecutivi) le coniche rimanenti saranno ideali, e i vertici de’ due coni reali; se da ultimo riuniamo in $\mathrm {M}$ i centri di una conica reale e di una ideale, delle due coniche restanti una sola sara reale, e i vertici de’ due coni saranno ideali.

Ecco i risultati che si ottengono per tal modo.

A) Siano reali sì i vertici de’ due coni che le due coniche.

a) Sia inoltre il paraboloide ellittico. Le coniche ponno essere entrambe ellissi o entrambe iperboli, o di specie diversa. Nel primo e secondo caso i punti $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$ sono situati dalla stessa banda rispetto al punto $\mathrm {M}$; nel terzo caso il punto $\mathrm {M}$ cade fra $\mathrm {A}$ e $\mathrm {B}$.

Nel primo caso corrispondono iperboloidi a due falde al segmento indefinito della locale che ha un termine in $\mathrm {M}$; ellissoidi al segmento finito che ha pure un termine in $\mathrm {M}$; iperboloidi ad una falda al segmento $\mathrm {AB}$; ellissoidi all’altro segmento indefinito.