Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/111

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intorno alle superficie della seconda classe ecc. 97

della superficie (5). Quella funzione sarà infinita per i = ∞, cioè pel paraboloide; nulla per i = 0, λ, μ, ν, ossia per le coniche; epperò essa diverrà massima per tre valori finiti di i, l’uno compreso fra lo zero e λ, l’altro fra λ e μ, il terzo fra μ e ν. Quindi in ciascuno de’ primi quattro casi colà considerati esisteranno tre superficie reali, e due in ciascuno degli altri tre, per le quali sarà massimo il prodotto degli assi.

Se si cerca l’ellissoide di massimo volume fra tutti quelli inscritti in una stessa sviluppabile, il problema non ammette soluzione che nel primo e quarto caso, cioè quando le coniche sono tutte reali, e fra esse una sia iperbole, le altre ellissi, ovvero due iperboli e due ellissi. Nel primo caso il valore di i che corrisponde al massimo ellissoide è compreso fra λ e μ; nel quarto fra μ e ν.

Il prodotto dei quadrati degli assi della superficie (5) è eguale alla quantità Φ moltiplicata per un fattore indipendente da i. Eguagliando a zero la derivata di Φ presa rispetto ad i si ha l’equazione cubica:

4i3 — 3(λ + μ + ν)i2 + 2(μν + νλ + λμ)i + λμν = 0


le radici della quale (tutte reali e positive) sono i valori del parametro i relativi a quelle superficie (5) per le quali è massimo il prodotto degli assi. Il coefficiente del secondo termine essendo:

(λ + μ + ν)


ne segue che il centro di gravita de’ centri delle tre superficie per le quali è massimo il prodotto degli assi coincide col centro di gravita de’ centri delle quattro coniche.

Quando la sviluppabile circoscritta si decompone in due coni di seconda classe, non rimanendo più che due segmenti finiti nella locale de’ centri, saranno pur due sole le superficie per le quali riuscirà massimo il prodotto degli assi. Si avrà un ellissoide massimo solamente quando siano reali i vertici de’ due coni, e reali le coniche intersezioni dei medesimi, e almeno una di esse sia ellisse, quando il paraboloide inscritto nel sistema de’ due coni è iperbolico, ovvero le coniche siano entrambe ellissi, ove il paraboloide sia ellittico.

19.º Da quanto precede si ponno concludere molte proposizioni relative al sistema di superficie (5). Eccone le principali.

Si abbia un sistema di superficie della seconda classe inscritta nella stessa superficie sviluppabile della quarta classe: fanno parte del sistema quattro coniche le quali o sono tutte reali, o due sono reali e due ideali. Fa parte del medesimo sistema anche un paraboloide, il quale scompare solo quando una delle quattro coniche sia una parabola.

I centri di tutte quelle superficie sono in una stessa retta che è dai centri delle quattro coniche divisa in cinque segmenti, tre finiti e due indefiniti. Le superficie che hanno i

Cremona, tomo I. 7