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| 98 | intorno alle superficie della seconda classe ecc. |
centri in uno stesso segmento sono tutte della medesima specie, la quale cambia da un segmento all’altro, in modo che si alternano le superficie rigate e le non rigate.
Tali superficie sono tutte reali se le quattro coniche sono tutte reali; se vi sono due coniche ideali i centri di queste sono sempre consecutivi e comprendono un segmento ai punti del quale non corrispondono che superficie ideali; mentre ne’ punti degli altri segmenti corrispondono superficie tutte reali. Una serie di superficie ideali occupa sempre un segmento finito e sta invece di una serie di superficie rigate, ossia è compresa fra due serie di superficie non rigate che sono sempre iperboloidi a due falde.
Supposte le coniche tutte reali, quando il paraboloide è ellittico, quelle sono tre ellissi ed una iperbole, o tre iperboli ed una ellisse; e quando il paraboloide è iperbolico le coniche sono o tutte iperboli, o due ellissi e due iperboli: in entrambi i casi i centri delle coniche della stessa specie sono disposti consecutivamente sulla locale de’ centri.
Quando il paraboloide è iperbolico i segmenti indefiniti contengono i centri di superficie che sono tutte iperboloidi ad una falda. Se il paraboloide è ellittico, uno de’ segmenti indefiniti contiene i centri di ellissoidi, l’altro d’iperboloidi a due falde.
Se un segmento finito contiene i centri di superficie non rigate, queste sono elllssoidi solo quando i termini del segmento siano i centri di due ellissi.
Fra le infinite superficie del sistema, ve ne sono tre per le quali è massimo il prodotto degli assi; i loro centri appartengono rispettivamente ai tre segmenti finiti. Una delle tre superficie è ideale, quando vi sia una coppia di coniche ideali. Fra le superficie del sistema esiste un ellissoide di volume massimo solo quando le quattro coniche siano tutte reali, e fra esse vi siano tre ellissi se il paraboloide è ellittico, o due ellissi se il paraboloide è iperbolico.
Il centro di gravità de’ punti centri delle tre superficie per le quali è massimo il prodotto degli assi coincide col centro di gravita de’ centri delle quattro coniche.
20.º Terminerò esponendo due proprietà del sistema di superficie (5).
Cerco le equazioni del diametro della superficie (5) coniugato ad un piano diametrale qualunque, di coordinate t’, u’, v’, w’, ove sia identicamente:
Il polo di quel piano è:
il qual punto insieme al centro della superficie (5) determina il diametro richiesto, il quale è perciò rappresentato dalla equazione precedente e dalla (6). Se da queste equazioni si elimina i si ha la:
(α’t + β’u + γ’v) (αt’t + βu’u + γv’v — Dw’w)
— (α’t’t + β’u’u + γ’v’v) (αt + βu + γv + Dw) = 0.