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intorno alle superficie della seconda classe ecc.

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I diametri delle superficie di seconda classe inscritte in una stessa sviluppabile, coniugati ad una medesima direzione, sono generatrici di uno stesso paraboloide iperbolico.

Se si cercano i diametri della superficie (5) coniugati ai piani delle quattro coniche, si trovano essere le rette congiungenti il centro della superficie ai vertici del tetraedro polare. Il che era d’altronde facile a prevedersi.

Cerchiamo da ultimo qual superficie inviluppino i piani diametrali delle superficie (5) coniugati ad una retta data di direzione. La data direzione sia individuata mediante l’equazione¹:

λt + μu + νv = 0.

Siano t, u, v, w le coordinate del piano diametrale della (5) coniugato a quella direzione; avremo

${\frac {\mathrm {A} (t+w)}{\lambda }}={\frac {\mathrm {B} (u+w)}{\mu }}={\frac {\mathrm {C} (v+w)}{\nu }}$

At + Bu + Cv + Dw = 0

da cui, posto λ + μ + ν = k abbiamo le:

kα(t + w) — i(α’k(t + w) — λDw) = 0

kβ(u + w) — i(β’k(u + w) — μDw) = 0

kγ(v + w) — i(γ’k(v + w) — νDw) = 0

le quali danno ${\frac {t}{w}}$, ${\frac {u}{w}}$, ${\frac {v}{w}}$ in funzione di i. Eliminando i si hanno le equazioni di tre iperboloidi aventi a due a due una generatrice comune; essi individuano, mediante i loro piani tangenti comuni, una superficie sviluppabile della terza classe (che ha per spigolo di regresso una cubica gobba). Dunque:

I piani diametrali delle superficie di seconda classe inscritte in una stessa sviluppabile, coniugati ad una retta di direzione data, inviluppano una superficie sviluppabile della terza classe.

Cremona, 14 dicembre 1858.

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1. Qui le λ, μ, ν indicano costanti arbitrarie, epperò diverse da quelle adoperate nelle equazioni (8).