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12.
INTORNO ALLE CONICHE INSCRITTE IN UNA STESSA SUPERFICIE SVILUPPABILE DEL QUART’ORDINE (E TERZA CLASSE).
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo II (1859), pp. 201-207.
È noto che i piani osculatori di una cubica gobba (linea a doppia curvatura di terz’ordine) inviluppano una superficie sviluppabile del quart’ordine (e per conseguenza della terza classe) e ciascun piano osculatore taglia la sviluppabile secondo una conica. Io ho dimostrato in una memoria inserita in questi Annali (1858) che il luogo dei centri di tutte le coniche analoghe è un’altra conica piana. Ora ho ricercato la natura di tutte quelle coniche inscritte in una stessa sviluppabile del quart’ordine, e indagando come ne fossero distribuiti i centri sulla conica locale, sono arrivato ad alcuni teoremi, che hanno una singolare affinità con quelli dati recentemente dal Trudi1 e dallo Steiner2 sulle coniche circoscritte ad uno stesso tetragono.
Assumo come origine di tre coordinate rettilinee obbliquangole un punto arbitrario della cubica gobba; l’asse delle z sia tangente alla curva, e il piano yz sia osculatore; l’asse delle x sia parallelo ad un assintoto della cubica, ossia diretto ad uno de’ punti della medesima, che sono a distanza infinita: de’ quali ve n’ha sempre almeno uno reale. Da ultimo il piano xy passi per l’assintoto dianzi nominato. Ciò posto, la cubica potrà essere rappresentata, in tutta la generalità, dal sistema di equazioni:
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