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SOLUTION DE LA QUESTION 464.²¹

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XIX (1860), pp. 149-151.

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Soient α, β, γ, δ les distances d’un point quelconque a quatre plans donnés; il est évident que l’équation la plus générale d’une surface du second ordre circonscrite au tétraèdre formé par les quatre plans

α = 0,     β = 0,     γ = 0,     δ = 0

sera

lβγ + mγα + nαβ + λαδ + μβδ + νγδ = 0.

Cette surface est coupée par le plan δ = 0 suivant la conique

lβγ + mγα + nαβ = 0.

Soient α’, β’, γ’ les distances d’un point quelconque du plan δ = 0 aux côtés du triangle δ = 0 (α = 0, β = 0, γ = 0): triangle formé par l’intersection du plan δ avec les plans α, β, γ; on a

α = α’ sin αδ,     β = β’ sin βδ,     γ = γ’ sin γδ

ou αδ est l’angle des plans α = δ = 0, etc. Donc l’équation de la conique rapportée au triangle inscrit sera

${\frac {l}{\alpha '\sin {\alpha \delta }}}+{\frac {m}{\beta '\sin {\beta \delta }}}+{\frac {n}{\gamma '\sin {\gamma \delta }}}=0.$

(Salmon)

Les angles du triangle sont βδγ, γδα, αδβ, où βδγ¹ exprime l’angle que fait l’in-

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1. βδγ est l’angle qui, dans l’énoncé de la question, a été désigné par (βδ, γδ).                                                                      P. [Prouhet]