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SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.

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Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.

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1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:

Data una retta $\mathrm {OA}$, un punto $\mathrm {O}$ in essa ed un punto $\mathrm {B}$ fuori della medesima, trovare una curva (nel piano $\mathrm {OAB}$) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per $\mathrm {B}$ la parallela a questa, i segmenti della $\mathrm {OA}$ intercetti fra queste rette e il punto $\mathrm {O}$ siano legati da una data relazione algebrica del grado $n$.

Siano $\mathrm {OM}$, $\mathrm {ON}$ i due segmenti compresi il primo fra il punto $\mathrm {O}$ e una tangente qualunque della curva, il secondo fra $\mathrm {O}$ e la parallela alla tangente. Sia:

$\mathrm {F} (\mathrm {OM} ,\mathrm {ON} )=0$

la relazione data. Posto $\mathrm {OB} =b$ ed assunte le rette $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$ per assi delle coordinate rettilinee $y$, $x$ avremo:

$\mathrm {OM} =y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$,     $\mathrm {ON} -b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$,

ove $x$, $y$ sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:

1)	$\mathrm {F} \left(y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},\,-b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=0$

la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.

Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano $u$, $v$ le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$, $-{\frac {1}{v}}$

Cremona, tomo I.

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