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SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.

Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.

1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:

Data una retta OA, un punto O in essa ed un punto B fuori della medesima, trovare una curva (nel piano OAB) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per B la parallela a questa, i segmenti della OA intercetti fra queste rette e il punto O siano legati da una data relazione algebrica del grado n.

Siano OM, ON i due segmenti compresi il primo fra il punto O e una tangente qualunque della curva, il secondo fra O e la parallela alla tangente. Sia:

F (OM, ON) = 0

la relazione data. Posto OB = b ed assunte le rette OA, OB per assi delle coordinate rettilinee y, x avremo:

OM = y — x

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

, ON = — b

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

,

ove x, y sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:

1)	$\mathrm {F} \left(y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},\,-b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=0$

la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.

Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano u, v le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$ , $-{\frac {1}{v}}$

Cremona, tomo I.

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